Dadas as integrais determine as func~oes, tal que; a) 8< : dy dx = cos(x)????1 tan(x) y(0) = 1: b) 8< : dy dx = x3 ???? x + 1 y(1) = 1: c) 8< : dy dx ...

Vamos resolver cada uma das integrais e determinar as funções correspondentes: a) Para a integral dy/dx = cos(x) - tan(x) e y(0) = 1: Integrando ambos os lados em relação a x, temos: y(x) = ∫ (cos(x) - tan(x)) dx y(x) = ∫ cos(x) dx - ∫ tan(x) dx y(x) = sen(x) - ln|sec(x)| + C Substituindo y(0) = 1, temos: 1 = sen(0) - ln|sec(0)| + C 1 = 0 - ln(1) + C 1 = -ln(1) + C 1 = 0 + C C = 1 Portanto, a função correspondente é y(x) = sen(x) - ln|sec(x)| + 1. b) Para a integral dy/dx = x^3 - x + 1 e y(1) = 1: Integrando ambos os lados em relação a x, temos: y(x) = ∫ (x^3 - x + 1) dx y(x) = (1/4)x^4 - (1/2)x^2 + x + C Substituindo y(1) = 1, temos: 1 = (1/4)(1^4) - (1/2)(1^2) + 1 + C 1 = (1/4) - (1/2) + 1 + C 1 = 1/4 - 1/2 + 1 + C 1 = 1/4 - 2/4 + 4/4 + C 1 = 3/4 + C C = 1 - 3/4 C = 1/4 Portanto, a função correspondente é y(x) = (1/4)x^4 - (1/2)x^2 + x + 1/4. c) Para a integral dy/dx = e^x e y(0) = 1: Integrando ambos os lados em relação a x, temos: y(x) = ∫ e^x dx y(x) = e^x + C Substituindo y(0) = 1, temos: 1 = e^0 + C 1 = 1 + C C = 1 - 1 C = 0 Portanto, a função correspondente é y(x) = e^x. d) Para a integral d^2y/dx^2 = e^x e y(0) = 1: Integrando duas vezes em relação a x, temos: y(x) = ∫∫ e^x dx dx y(x) = ∫ (e^x)x + C1 dx y(x) = (1/2)e^x x^2 + C1x + C2 Substituindo y(0) = 1, temos: 1 = (1/2)e^0 (0^2) + C1(0) + C2 1 = 0 + 0 + C2 C2 = 1 Portanto, a função correspondente é y(x) = (1/2)e^x x^2 + C1x + 1. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.