Nos problemas seguintes, obtenha a solução geral para a equação: 7. dy/dx = y/x + 2x + 1 8. x dy/dx + 2 y = x−3 9. (t + y + 1)dt − dy= 0 10. y dx/d...

7. Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos mover todos os termos com y para o lado esquerdo e todos os termos com x para o lado direito: dy/dx - y/x = 2x + 1 Agora, vamos multiplicar ambos os lados por x: x dy/dx - y = 2x^2 + x Agora, podemos usar o fator integrante e^(integral de -1/x dx) = e^(-ln|x|) = 1/x. Multiplicando ambos os lados por 1/x, temos: d(y/x)/dx = 2x^2/x^2 + x/x^2 d(y/x)/dx = 2 + 1/x Integrando ambos os lados em relação a x, temos: ln|y/x| = 2x + ln|x| + C y/x = Cx^2e^(2x) y = Cx^3e^(2x) 8. Para resolver essa equação, podemos usar o fator integrante e^(integral de 2/x dx) = e^(2ln|x|) = x^2. Multiplicando ambos os lados por x^2, temos: x^3 dy/dx + 2xy = x^(-1) Agora, podemos usar a regra do produto para simplificar o lado esquerdo: d/dx(x^3y) = x^(-1) Integrando ambos os lados em relação a x, temos: x^3y = ln|x| - 3/x + C y = (ln|x|/x^3) - 3/x^4 + C/x^3 9. Para resolver essa equação, podemos reorganizá-la em termos de y e t: dy/dt = t + y + 1 Agora, podemos usar o fator integrante e^(integral de 1 dt) = e^t. Multiplicando ambos os lados por e^t, temos: e^t dy/dt - e^t y = e^t(t + 1) Agora, podemos usar a regra do produto para simplificar o lado esquerdo: d/dt(e^t y) = e^t(t + 1) Integrando ambos os lados em relação a t, temos: e^t y = e^t(t^2/2 + t) + C y = t^2/2 + t + C e^(-t) 10. Para resolver essa equação, podemos usar a regra do produto para simplificar o lado esquerdo: y dx/dy = (5y^3 - 2x)/2 Agora, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados: 2y^(-3) dy = (5/2)dx - x/y Integrando ambos os lados em relação a y, temos: y^(-2) = (5/2)y - x ln|y| + C y = (x ln|y| - 2)/(5 - 2y^2) 11. Para resolver essa equação, podemos usar o fator integrante e^(integral de x/(x^2 + 1) dx) = e^(1/2 ln(x^2 + 1)) = sqrt(x^2 + 1). Multiplicando ambos os lados por sqrt(x^2 + 1), temos: (x^2 + 1) dy/dx + xy - x sqrt(x^2 + 1) = 0 Agora, podemos usar a regra do produto para simplificar o lado esquerdo: d/dx(y sqrt(x^2 + 1)) = x sqrt(x^2 + 1) Integrando ambos os lados em relação a x, temos: y sqrt(x^2 + 1) = (1/2)(x sqrt(x^2 + 1) + ln|x + sqrt(x^2 + 1)|) + C y = (1/2)(x + ln|x + sqrt(x^2 + 1)|/sqrt(x^2 + 1)) + C/sqrt(x^2 + 1)