Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial: 7. x^2 dy/dx − 2xy = 3y^4, y(1) = 1/2; 9. xy(1 + xy^2) dy/dx = 1, y(1) = 0. ...

Para resolver a equação diferencial dada, podemos utilizar o método de separação de variáveis. 7. Começamos reescrevendo a equação como: x^2 dy/dx - 2xy = 3y^4 Dividindo ambos os lados por x^2y^4, temos: dy/dx * (1/y^3) - 2/x * (1/y^2) = 3/x^2 Agora, integramos ambos os lados em relação a x: ∫(1/y^3) dy - 2∫(1/y^2) dx = 3∫(1/x^2) dx -1/(2y^2) - 2(1/y) = -3/x + C Onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(1) = 1/2, podemos encontrar o valor de C: -1/8 + 1 = -3 + C C = 22/8 Substituindo C na equação, temos: -1/(2y^2) - 2(1/y) = -3/x + 22/8 Simplificando, temos: -4/y - 1/(2y^2) = -3/x + 22/8 Multiplicando ambos os lados por -2y^2, temos: 8y + 1 = 6xy^2 - 11y^2 Que é a solução da equação diferencial. 9. Começamos reescrevendo a equação como: xy(1 + xy^2) dy/dx = 1 Dividindo ambos os lados por xy(1 + xy^2), temos: dy/dx * (1/y) = 1/(x(1 + xy^2)) Agora, integramos ambos os lados em relação a x: ∫(1/y) dy = ∫(1/(x(1 + xy^2))) dx ln|y| = (1/2)ln(1 + xy^2) + ln|x| + C Onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(1) = 0, podemos encontrar o valor de C: ln|0| = (1/2)ln(1 + 0) + ln|1| + C C = -∞ Substituindo C na equação, temos: ln|y| = (1/2)ln(1 + xy^2) + ln|x| - ∞ Simplificando, temos: ln|y| = (1/2)ln(1 + xy^2) + ln|x| Aplicando exponenciação em ambos os lados, temos: |y| = |x|^(1/2) * (1 + xy^2)^(1/2) Como y(1) = 0, temos que y = 0 é a solução da equação diferencial. 10. Começamos reescrevendo a equação como: 2 dy/dx = y/x - x/y^2 Multiplicando ambos os lados por dx, temos: 2 dy = (y/x - x/y^2) dx Agora, integramos ambos os lados em relação a x: 2∫dy = ∫(y/x - x/y^2) dx 2y = ln|x| - 1/y + C Onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(1) = 1, podemos encontrar o valor de C: 2(1) = ln|1| - 1/1 + C C = 1 Substituindo C na equação, temos: 2y = ln|x| - 1/y + 1 Simplificando, temos: 2y^2 - yln|x| + y - 1 = 0 Que é a solução da equação diferencial.