A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso em mente, calcule a integral indefinida  ∫ 3e2x2ex dividid...

Para calcular a integral indefinida ∫ 3e^(2x) * 2e^x dividido por (e^x-2)(e^(2x)-4) dx, podemos utilizar a técnica de integração por substituição. Vamos fazer a substituição u = e^x - 2. Primeiro, vamos calcular a derivada de u em relação a x: du/dx = d/dx (e^x - 2) = e^x. Agora, vamos substituir na integral: ∫ 3e^(2x) * 2e^x / [(e^x-2)(e^(2x)-4)] dx = ∫ 3e^(2x) * 2e^x / (u * (u+2)) * du. Podemos simplificar a expressão: ∫ 6e^(3x) / (u * (u+2)) du. Agora, vamos fazer uma nova substituição v = u + 2. A derivada de v em relação a u é dv/du = d/du (u + 2) = 1. Substituindo na integral: ∫ 6e^(3x) / (u * (u+2)) du = ∫ 6e^(3x) / (v-2) dv. Agora, podemos calcular a integral: ∫ 6e^(3x) / (v-2) dv = 6 ∫ e^(3x) / (v-2) dv. Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica de integração por partes. Vamos fazer a escolha u = e^(3x) e dv = 1 / (v-2) dv. Calculando as derivadas e integrais: du/dx = 3e^(3x) dx, v = ln|v-2|. Aplicando a fórmula de integração por partes: ∫ e^(3x) / (v-2) dv = e^(3x) * ln|v-2| - ∫ (3e^(3x) * ln|v-2|) dx. Agora, substituindo v = u + 2: ∫ e^(3x) / (v-2) dv = e^(3x) * ln|u| - ∫ (3e^(3x) * ln|u|) dx. Voltando à variável original: ∫ e^(3x) / (v-2) dv = e^(3x) * ln|e^x - 2| - ∫ (3e^(3x) * ln|e^x - 2|) dx. Essa integral é mais complexa e não pode ser resolvida de forma direta. Portanto, essa é a resposta para a integral indefinida ∫ 3e^(2x) * 2e^x / [(e^x-2)(e^(2x)-4)] dx.