(3) Determine o volume do tetraedro de vértices A = (1, 2, 4), B = (2, 4, 0), C = (3, 1, 5) e D = (7,−2, 8).

Para determinar o volume de um tetraedro com vértices A, B, C e D, podemos usar a fórmula do determinante. Primeiro, vamos calcular as coordenadas dos vetores AB, AC e AD: AB = B - A = (2, 4, 0) - (1, 2, 4) = (1, 2, -4) AC = C - A = (3, 1, 5) - (1, 2, 4) = (2, -1, 1) AD = D - A = (7, -2, 8) - (1, 2, 4) = (6, -4, 4) Agora, vamos calcular o determinante usando esses vetores: | AB AC AD | | 1 2 -4 | | 2 -1 1 | | 6 -4 4 | O volume do tetraedro é igual ao valor absoluto do determinante dividido por 6. Portanto, temos: Volume = | AB AC AD | / 6 | 1 2 -4 | | 2 -1 1 | | 6 -4 4 | / 6 Calculando o determinante, temos: Volume = (1 * (-1) * 4 + 2 * 1 * 6 + (-4) * 2 * (-4) - (-4) * (-1) * 6 - 4 * 1 * 4 - 2 * 2 * 4) / 6 = (4 + 12 + 32 + 24 + 16 + 16) / 6 = 104 / 6 = 17,33 Portanto, o volume do tetraedro é aproximadamente 17,33 unidades cúbicas.