Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro. De quanto é o seu volume?

Para calcular o volume de um tetraedro, podemos utilizar a fórmula: V = (1/3) * A_base * h Onde A_base é a área da base do tetraedro e h é a altura em relação à base. Para encontrar a área da base, podemos utilizar o produto vetorial entre dois vetores que representam duas arestas da base. Assim: A_base = |u x v| / 2 Onde x representa o produto vetorial. Calculando o produto vetorial entre u e v, temos: u x v = (2*2 - (-2)*(-3), 2*1 - (-2)*2, 4*(-3) - 4*1) = (2, 6, -16) Calculando o módulo desse vetor, temos: |u x v| = sqrt(2^2 + 6^2 + (-16)^2) = sqrt(272) = 16,49 Assim, a área da base é: A_base = 16,49 / 2 = 8,245 Agora, precisamos encontrar a altura em relação à base. Para isso, podemos utilizar o vetor w, que é perpendicular à base. Assim, a altura é a projeção de w sobre a base. Podemos calcular essa projeção utilizando o produto escalar entre w e um vetor normal à base, que é dado pelo produto vetorial entre u e v. Assim: h = |w . (u x v)| / |u x v| Calculando o produto escalar, temos: w . (u x v) = 5*2 + (-1)*6 + (-2)*(-16) = 49 E o módulo de u x v já foi calculado anteriormente. Assim: h = 49 / 16,49 = 2,97 Finalmente, podemos calcular o volume: V = (1/3) * A_base * h = (1/3) * 8,245 * 2,97 = 8,23 Portanto, o volume do tetraedro é aproximadamente 8,23 unidades cúbicas.