Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro.

De quanto é o seu volume?

Question

Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro.

De quanto é o seu volume?

Ed · Answer

Para calcular o volume de um tetraedro, podemos utilizar a fórmula:

V = (1/3) * A_base * h

Onde A_base é a área da base do tetraedro e h é a altura em relação à base.

Para encontrar a área da base, podemos utilizar o produto vetorial entre dois vetores que representam duas arestas da base. Assim:

A_base = |u x v| / 2

Onde x representa o produto vetorial.

Calculando o produto vetorial entre u e v, temos:

u x v = (2*2 - (-2)*(-3), 2*1 - (-2)*2, 4*(-3) - 4*1) = (2, 6, -16)

Calculando o módulo desse vetor, temos:

|u x v| = sqrt(2^2 + 6^2 + (-16)^2) = sqrt(272) = 16,49

Assim, a área da base é:

A_base = 16,49 / 2 = 8,245

Agora, precisamos encontrar a altura em relação à base. Para isso, podemos utilizar o vetor w, que é perpendicular à base. Assim, a altura é a projeção de w sobre a base. Podemos calcular essa projeção utilizando o produto escalar entre w e um vetor normal à base, que é dado pelo produto vetorial entre u e v. Assim:

h = |w . (u x v)| / |u x v|

Calculando o produto escalar, temos:

w . (u x v) = 5*2 + (-1)*6 + (-2)*(-16) = 49

E o módulo de u x v já foi calculado anteriormente. Assim:

h = 49 / 16,49 = 2,97

Finalmente, podemos calcular o volume:

V = (1/3) * A_base * h = (1/3) * 8,245 * 2,97 = 8,23

Portanto, o volume do tetraedro é aproximadamente 8,23 unidades cúbicas.

Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro. De quanto é o seu volume?

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