Determine se as funções f1(x) = x, f2(x) = x2 e f3(x) = 4x − 3x2 são linearmente dependentes ou não dependentes.

a. Linearmente independentes.
b. Linearmente dependentes com coeficientes c1 −4, c2 3, c3 1.
c. Linearmente independentes com Wronkiano diferente de zero.
d. Linearmente dependentes com Wronkiano diferente de zero.
e. Linearmente independentes com Wronkiano igual a zero.

Question

Determine se as funções f1(x) = x, f2(x) = x2 e f3(x) = 4x − 3x2 são linearmente dependentes ou não dependentes.

a. Linearmente independentes.
b....

Ed · Answer

Para determinar se as funções $ f_1(x) = x $, $ f_2(x) = x^2 $ e $ f_3(x) = 4x - 3x^2 $ são linearmente dependentes ou independentes, podemos usar o conceito de Wronkiano.

Primeiro, vamos calcular o Wronkiano $ W(f_1, f_2, f_3) $:

$$
W(f_1, f_2, f_3) = 
\begin{vmatrix}
f_1 & f_2 & f_3 \
f_1' & f_2' & f_3' \
f_1'' & f_2'' & f_3''
\end{vmatrix}
$$

Calculando as derivadas:
- $ f_1' = 1 $, $ f_1'' = 0 $
- $ f_2' = 2x $, $ f_2'' = 2 $
- $ f_3' = 4 - 6x $, $ f_3'' = -6 $

Agora, montamos a matriz:

$$
W(f_1, f_2, f_3) = 
\begin{vmatrix}
x & x^2 & 4x - 3x^2 \
1 & 2x & 4 - 6x \
0 & 2 & -6
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante, se o Wronkiano for diferente de zero, as funções são linearmente independentes. Se for igual a zero, são linearmente dependentes.

Após calcular, encontramos que o Wronkiano é diferente de zero. Portanto, as funções são linearmente independentes.

Analisando as alternativas:
a) Linearmente independentes. (Correta)
b) Linearmente dependentes com coeficientes c1 −4, c2 3, c3 1. (Incorreta)
c) Linearmente independentes com Wronkiano diferente de zero. (Correta, mas não é a melhor opção)
d) Linearmente dependentes com Wronkiano diferente de zero. (Incorreta)
e) Linearmente independentes com Wronkiano igual a zero. (Incorreta)

A resposta correta é: **a) Linearmente independentes.**

Ed · Answer

Para determinar se as funções f1(x) = x, f2(x) = x^2 e f3(x) = 4x - 3x^2 são linearmente dependentes ou independentes, podemos verificar se existe uma combinação linear dos coeficientes c1, c2 e c3 que resulte em zero para todos os valores de x.

Podemos observar que a função f1(x) = x é linearmente independente das outras duas funções, pois não é possível escrevê-la como uma combinação linear das outras duas.

No entanto, podemos escrever a função f3(x) = 4x - 3x^2 como uma combinação linear das funções f1(x) e f2(x). Podemos multiplicar a função f1(x) por 4 e a função f2(x) por -3, e somá-las para obter a função f3(x). Portanto, as funções f1(x), f2(x) e f3(x) são linearmente dependentes.

Assim, a alternativa correta é:

b. Linearmente dependentes com coeficientes c1 = -4, c2 = 3, c3 = 1.

Cálculo

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Classifique a equação (1 – x)y" – 4xy' + 5y² = cos x por linearidade e grau.

a. Não linear de segunda ordem.
b. Linear de terceira ordem.
c. Não linear de terceira ordem.
d. Não linear de primeira ordem.
e. Linear de primeira ordem.

Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli:

y' + 1xy = 1xy–2.

a.
b.
c.
d.
e.

Resolva a equação diferencial não linear y’ = y² com a condição inicial y(0) = 1.

a.
b.
c.
d.
e.

Sendo y = c1ex + c2e−x solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0, y’(0) = 1.

a.
b.
c.
d.
e.

Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.

a. y = −k1ex − k2e2x
b. y = k1e0.5x + k2e3x
c. y = k1e−0,5x + k2e3x
d. y = k1ex − k2e2x
e. y = k1e−0,5x − k2e2x

Considere um circuito LC com e(t) = 0. Determine a carga q(t) no capacitor, se q(0) = q0 e i(0) = 0, sabendo que a equação de malha é

a.
b.
c.
d.
e.

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Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli:y' + 1xy = 1xy–2.a.b.c.d.e.

Resolva a equação diferencial não linear y’ = y² com a condição inicial y(0) = 1.a.b.c.d.e.

Sendo y = c1ex + c2e−x solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0, y’(0) = 1.a.b.c.d.e.

Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.a. y = −k1ex − k2e2xb. y = k1e0.5x + k2e3xc. y = k1e−0,5x + k2e3xd. y = k1ex − k2e2xe. y = k1e−0,5x − k2e2x

Considere um circuito LC com e(t) = 0. Determine a carga q(t) no capacitor, se q(0) = q0 e i(0) = 0, sabendo que a equação de malha éa.b.c.d.e.

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a. Não linear de segunda ordem.
b. Linear de terceira ordem.
c. Não linear de terceira ordem.
d. Não linear de primeira ordem.
e. Linear de primeira ordem.

Faça a mudança para a variável w da equação de Bernoulli:

y' + 1xy = 1xy–2.

a.
b.
c.
d.
e.

Resolva a equação diferencial não linear y’ = y² com a condição inicial y(0) = 1.

a.
b.
c.
d.
e.

Sendo y = c1ex + c2e−x solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0, y’(0) = 1.

a.
b.
c.
d.
e.

Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.

a. y = −k1ex − k2e2x
b. y = k1e0.5x + k2e3x
c. y = k1e−0,5x + k2e3x
d. y = k1ex − k2e2x
e. y = k1e−0,5x − k2e2x

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