Para resolver a equação diferencial \(2y'' - 5y' - 3y = 0\), começamos encontrando a equação característica associada, que é dada por: \[ 2r^2 - 5r - 3 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 2\), \(b = -5\) e \(c = -3\). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4} \] Isso nos dá duas raízes: 1. \( r_1 = \frac{12}{4} = 3 \) 2. \( r_2 = \frac{-2}{4} = -0.5 \) Assim, as raízes da equação característica são \(r_1 = 3\) e \(r_2 = -0.5\). A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y = k_1 e^{3x} + k_2 e^{-0.5x} \] Analisando as alternativas: a) \( y = -k_1 e^x - k_2 e^{2x} \) - Incorreta. b) \( y = k_1 e^{0.5x} + k_2 e^{3x} \) - Incorreta. c) \( y = k_1 e^{-0.5x} + k_2 e^{3x} \) - Correta. d) \( y = k_1 e^x - k_2 e^{2x} \) - Incorreta. e) \( y = k_1 e^{-0.5x} - k_2 e^{2x} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: **c) y = k_1 e^{-0,5x} + k_2 e^{3x}**.