Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indef...

Após a primeira divisão, o quadrado inicial será dividido em 9 quadrados iguais, sendo que um quadrado central será removido. Portanto, restarão 8 quadrados. Após a segunda divisão, cada um dos 8 quadrados restantes será dividido em 9 quadrados iguais, sendo que um quadrado central de cada um dos 8 quadrados será removido. Portanto, restarão 8 x 8 = 64 quadrados. Após a terceira divisão, cada um dos 64 quadrados restantes será dividido em 9 quadrados iguais, sendo que um quadrado central de cada um dos 64 quadrados será removido. Portanto, restarão 64 x 8 = 512 quadrados. Podemos perceber que a cada divisão, o número de quadrados restantes é multiplicado por 8. Portanto, após n divisões, restarão 8^n quadrados. Para calcular a soma das áreas dos quadrados removidos, podemos observar que a área do quadrado central removido na primeira divisão é 1. Na segunda divisão, serão removidos 8 quadrados centrais, cada um com área 1/9. Na terceira divisão, serão removidos 64 quadrados centrais, cada um com área 1/81. Portanto, a soma das áreas dos quadrados removidos será: 1 + 8 x (1/9) + 64 x (1/81) + ... + (8^n) x (1/9^n) Podemos perceber que essa é uma soma de uma progressão geométrica de razão 8/9. Portanto, a soma das áreas dos quadrados removidos será: 1/(1 - 8/9) = 9 unidades de área.