As raízes de x^4 - a = 0 são os vértices de um quadrado no plano complexo. Se uma raiz é 1 + i e o centro do quadrado é 0 + 0i, determine o valor d...

Para resolver esse problema, precisamos saber que as raízes de um polinômio do quarto grau são os vértices de um quadrado no plano complexo se e somente se as raízes são da forma a + ai, a - ai, -a + ai e -a - ai. Como uma das raízes é 1 + i, podemos escrever as outras três raízes como 1 - i, -1 + i e -1 - i. O centro do quadrado é 0 + 0i, que é a média das quatro raízes. Portanto, temos: (1 + i + 1 - i - 1 + i - 1 - i)/4 = 0 Simplificando, temos: 0 = 0 Isso significa que o centro do quadrado é de fato 0 + 0i. A distância do centro do quadrado a qualquer um dos vértices é a metade do comprimento da diagonal do quadrado. Como a diagonal do quadrado é a distância entre duas raízes adjacentes, temos: d = |(1 + i) - (1 - i)| = 2 Agora podemos encontrar o valor de a. Sabemos que a soma das raízes é zero, então: a + a - a - a = 0 Simplificando, temos: a = 0 Substituindo em x^4 - a = 0, temos: x^4 = 0 Portanto, a resposta correta é a alternativa: a) 2