ÁLGEBRA LINEAR II (1640) Considere a transformação linear 7: R3 R2 assim definida T(x,y,z)=(x-y-z. 2z-x). Em relação a essa transformação linear, a...

A alternativa correta é: (A) V, V, F. Justificativa: Para a transformação linear T ser sobrejetora, é necessário que Im(T) = R2. Podemos verificar que a imagem de T é gerada pelos vetores (1,0) e (-1,2), que são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para Im(T). Logo, Im(T) = R2 e a afirmativa I é verdadeira. Para encontrar a dimensão do núcleo de T, precisamos resolver a equação T(x,y,z) = (0,0) e determinar o conjunto de soluções. Isso nos leva ao sistema de equações lineares: x - y - z = 0 2z - x = 0 Resolvendo esse sistema, obtemos x = 2t, y = 3t e z = t, onde t é um parâmetro livre. Portanto, o núcleo de T é gerado pelo vetor (2,3,1) e tem dimensão 1. Logo, a afirmativa II é verdadeira. Para determinar se W = [(1,-1), (0,-1)] é base da Im(T), precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram Im(T). Podemos escrever esses vetores como combinações lineares dos vetores geradores da Im(T): (1,-1) = (1/3)(1,0) - (2/3)(-1,2) (0,-1) = (1/3)(1,0) + (1/3)(-1,2) Portanto, W não é base da Im(T) e a afirmativa III é falsa.