Considere a transformação o linear T: R 3   R 3assim definida: T(x, y, z) = (x — y — z, 2z — x). Em relação a essa transformação linear, avalie as ...

Vamos avaliar cada afirmativa: 1) T é sobrejetora. Para T ser sobrejetora, todo elemento do contradomínio deve ser imagem de pelo menos um elemento do domínio. Podemos verificar que a primeira coordenada de T é x - y - z, ou seja, ela pode assumir qualquer valor real. Já a segunda coordenada é 2z - x, que também pode assumir qualquer valor real. Portanto, T é sobrejetora. Resposta: Verdadeira (V). 2) dim(N(T)) = 0. N(T) é o núcleo de T, ou seja, o conjunto de vetores do domínio que são mapeados em zero pelo operador linear T. Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação T(x, y, z) = (0, 0). Isso nos leva ao sistema de equações: x - y - z = 0 2z - x = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos que x = 2z e y = 3z. Portanto, o núcleo é gerado pelo vetor (2, 3, 1). Como esse vetor é não nulo, a dimensão do núcleo é 1, e não 0. Resposta: Falsa (F). 3) A base da Im(T) é {(1, -1), (0, -1)}. A Im(T) é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor do domínio. Podemos reescrever a transformação linear T na forma matricial: | 1 -1 -1 | | -1 0 2 | Os vetores da base IV = ((1, -1), (0, -1)) são colunas da matriz acima. Para verificar se IV é base da Im(T), precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço da Im(T). Podemos verificar que a segunda coluna é uma combinação linear da primeira coluna, portanto, IV não é uma base da Im(T). Resposta: Falsa (F). Portanto, as respostas são: 1) V 2) F 3) F