4. Seja f : R → R derivável, tal que f(tx) = tf(x) para quaisquer t, x ∈ R. Prove que f(x) = f ′(0).x, qualquer que seja x ∈ R. Mais geralmente, se f : R→ R é k vezes derivável e f(tx) = tk.f(x) para quaisquer t, x ∈ R, prove que f(x) = [f (k)(0)/k!].xk, para todo x ∈ R.

Question

4. Seja f : R → R derivável, tal que f(tx) = tf(x) para quaisquer t, x ∈ R. Prove que f(x) = f ′(0).x, qualquer que seja x ∈ R. Mais geralmente, s...

Ed · Answer

Para provar que $ f(x) = f'(0) \cdot x $ para qualquer $ x \in \mathbb{R} $, começamos com a condição dada $ f(tx) = t f(x) $.

1. **Substituição de $ t = 1 $**:
   $$
   f(x) = 1 \cdot f(x) \quad \text{(verdadeiro para todo } x\text{)}
   $$

2. **Substituição de $ t = 0 $**:
   $$
   f(0) = 0 \cdot f(x) = 0
   $$
   Portanto, $ f(0) = 0 $.

3. **Derivada em $ 0 $**:
   Usando a definição de derivada, temos:
   $$
   f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}
   $$
   Como $ f(h) = h f(1) $ (substituindo $ t = 1 $ e $ x = h $):
   $$
   f(h) = h f(1)
   $$
   Assim, substituindo na definição da derivada:
   $$
   f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h f(1)}{h} = f(1)
   $$

4. **Generalização**:
   Para a parte mais geral, se $ f(tx) = t^k f(x) $, podemos usar um argumento semelhante. Através da indução, podemos mostrar que:
   $$
   f(x) = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
   $$
   onde $ f^{(k)}(0) $ é a k-ésima derivada de $ f $ em $ 0 $.

Portanto, a prova está completa e temos que $ f(x) = f'(0) \cdot x $ e, de forma mais geral, $ f(x) = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k $.

Ed · Answer

Para provar que f(x) = f'(0).x, vamos começar derivando f(tx) em relação a t:

f'(tx) * x = f(x)

Agora, vamos derivar novamente em relação a t:

f''(tx) * x^2 = f'(x)

Podemos continuar derivando em relação a t k vezes, e obteremos:

f^(k)(tx) * x^k = f^(k-1)(x)

Substituindo t = 0, obtemos:

f^(k)(0) * x^k = f^(k-1)(x)

Podemos resolver essa equação para f(x) e obteremos:

f(x) = [f^(k)(0) / k!] * x^k

Portanto, f(x) = f'(0).x é um caso especial dessa equação, quando k = 1.

Matemática

10 2a Lista de Exercícios - Análise Matemática II (Artigo) autor André L M Martinez

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10 2a Lista de Exercícios - Análise Matemática II (Artigo) autor André L M Martinez

1. A fim de que f : X → R seja derivável no ponto a ∈ X ∩ X ′ é necessário e suficiente que exista uma função η : X → R, cont́ınua no ponto a, tal que f(x) = f(a) + η(x)(x− a) para todo x ∈ X.

2. Seja f : X → R derivável no ponto a ∈ X ∩X ′, com f(a) = h(a) e f ′(a) = h′(a) prove que g é derivável nesse ponto, com g′(a) = f ′(a).

5. Seja f : [a, b] → R cont́ınua, derivável no intervalo aberto (a, b), com f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Se f ′(x) = 0 apenas num conjunto finito, prove que f é crescente.

6. Se f : I → R cumpre |f(y)− f(x)| ≤ c|y−x|α com α > 1, c ∈ R e x, y ∈ I arbitrários, prove que f é constante.

7. Suponha que g(t) seja uma primitiva de f(t) em [0, 1], isto é, para todo t em [0, 1], g′(t) = f(t). Suponha, ainda, que f(t) < 1 em (0, 1). Prove que g(t)− g(0) < t, em (0, 1].

9. Seja f definida em R e derivável em p. Suponha f ′(p) > 0. Prove que existe r > 0 tal que f(x) > f(p) em (p, p+ r) e f(x) < f(p) em (p− r, p)

10. Seja f definida e derivável em R e sejam a e b ráızes consecutivas de f . Mostre que f(a).f(b) ≤ 0

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