Para provar que a função \( f \) é crescente no intervalo \([a, b]\), vamos seguir os seguintes passos: 1. Definição de função crescente: Uma função \( f \) é considerada crescente em um intervalo se, para quaisquer \( x_1, x_2 \in [a, b] \) com \( x_1 < x_2 \), temos \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Condições dadas: Sabemos que \( f' (x) \geq 0 \) para todo \( x \in (a, b) \) e que \( f' (x) = 0 \) apenas em um conjunto finito de pontos. 3. Análise do comportamento da derivada: - Como \( f' (x) \geq 0 \), isso indica que a função não está diminuindo em nenhum ponto do intervalo. - A derivada \( f' (x) = 0 \) em um conjunto finito significa que existem apenas alguns pontos onde a função pode ser constante, mas não pode haver intervalos onde a função diminui. 4. Intervalos entre os pontos onde \( f' (x) = 0 \): - Entre quaisquer dois pontos onde \( f' (x) = 0 \), a derivada \( f' (x) \) deve ser positiva (ou zero) em algum ponto do intervalo, já que não existem intervalos onde a função diminui. 5. Conclusão: - Portanto, em cada intervalo entre os pontos onde \( f' (x) = 0 \), a função \( f \) deve ser crescente. Como existem apenas um número finito de pontos onde a derivada é zero, isso não afeta a natureza crescente da função em todo o intervalo \([a, b]\). Assim, podemos concluir que \( f \) é uma função crescente em \([a, b]\).