Para que a função \( f: X \to \mathbb{R} \) seja derivável no ponto \( a \in X \cap X' \), é necessário e suficiente que exista uma função \( \eta: X \to \mathbb{R} \), contínua no ponto \( a \), tal que: \[ f(x) = f(a) + \eta(x)(x - a) \quad \text{para todo } x \in X. \] Isso significa que a função \( f \) pode ser expressa como uma aproximação linear em torno do ponto \( a \), onde \( \eta(x) \) representa a taxa de variação da função em relação a \( x \). A continuidade de \( \eta \) em \( a \) garante que a derivada de \( f \) existe nesse ponto.