Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador linear T : R2 → R2, associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivament...

Para determinar a imagem do vetor v = (4, 1) por esse operador, precisamos primeiro encontrar a matriz associada a esse operador linear T. Sabemos que os autovetores v1 e v2 são soluções da equação T(v) = λv, onde λ é o autovalor correspondente. Então, podemos escrever: T(v1) = λ1v1 T(v2) = λ2v2 Substituindo os valores dados, temos: T((1, 1)) = 5(1, 1) = (5, 5) T((2, -1)) = -1(2, -1) = (-2, 1) Agora, podemos montar a matriz associada a T, usando as imagens dos vetores da base canônica de R2: [T(1, 0) T(0, 1)] = [(5, -2) (5, 1)] Assim, a imagem do vetor v = (4, 1) por esse operador é dada por: T((4, 1)) = (5, -2)(4, 1) = (18, 3) Portanto, a resposta é (8, 11).