Determine os valores de x para os quais o gráfico da reta y = x está abaixo da parábola y = x2 − 2x. Queremos resolver a seguinte inequação x...

Para que o gráfico da reta y = x esteja abaixo da parábola y = x² - 2x, é necessário que a reta esteja abaixo da parábola em todos os pontos em que elas se interceptam. Portanto, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola. Igualando as equações, temos: x = x² - 2x x² - 3x = 0 x(x - 3) = 0 Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 3. Agora, precisamos estudar o sinal da parábola y = x² - 3x para determinar em quais intervalos a reta está abaixo da parábola. Para isso, podemos utilizar a propriedade de que a parábola tem concavidade para cima quando o coeficiente de x² é positivo, e concavidade para baixo quando o coeficiente de x² é negativo. No caso da parábola y = x² - 3x, o coeficiente de x² é positivo, portanto ela tem concavidade para cima. Além disso, as raízes da parábola são x = 0 e x = 3, o que significa que ela corta o eixo x nos pontos (0, 0) e (3, 0). Podemos então construir uma tabela de sinais para a parábola: x | y = x² - 3x --|------------- 0 | 0 1 | -2 2 | -2 3 | 0 4 | 4 A partir da tabela de sinais, podemos concluir que a parábola está acima do eixo x no intervalo (0, 3), e abaixo do eixo x nos intervalos (-∞, 0) e (3, +∞). Portanto, a solução da inequação x < x² - 2x é o conjunto S = (-∞, 0) ⋃ (3, +∞).