Show that (x^3 - y^3) / (x - y) > 0, for all real x ≠ y. Show that the given inequality is true for all real x ≠ y.

Podemos resolver essa questão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e a fatoração da diferença de dois cubos. (x^3 - y^3) / (x - y) = [(x - y)(x^2 + xy + y^2)] / (x - y) Podemos simplificar a expressão, cancelando o fator comum (x - y): (x^3 - y^3) / (x - y) = x^2 + xy + y^2 Agora, precisamos mostrar que x^2 + xy + y^2 é sempre maior que zero, para todo x ≠ y. Podemos fazer isso utilizando o discriminante da equação do segundo grau: Δ = y^2 - 4y^2 = -3y^2 Como Δ é negativo, a equação x^2 + xy + y^2 não possui raízes reais. Isso significa que o seu valor é sempre maior que zero, para todo x ≠ y. Portanto, a desigualdade (x^3 - y^3) / (x - y) > 0 é verdadeira para todo x ≠ y.