1) Em cada caso, dar as equações vetoriais da reta que passa por A e tem a direção do vetor v, nas formas paramétricas e simétricas: a) A= (1,3) ...

1) a) Forma paramétrica: x = 1 + 2t, y = 3 + t Forma simétrica: (x - 1) / 2 = (y - 3) / 1 = t b) Forma paramétrica: x = 3 + 2t, y = 4 + t Forma simétrica: (x - 3) / 2 = (y - 4) / 1 = t c) Forma paramétrica: x = 3 + 7t, y = 2 + t, z = 5 - 4t Forma simétrica: (x - 3) / 7 = (y - 2) / 1 = (z - 5) / (-4) = t d) Forma paramétrica: x = -1 + 3t, y = 0 + 5t, z = -2 + 4t Forma simétrica: (x + 1) / 3 = y / 5 = (z + 2) / 4 = t 2) a) Forma paramétrica: x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = 2 + 2t Forma simétrica: (x - 1) / 1 = (y - 1) / 2 = (z - 2) / 2 b) Forma paramétrica: x = -7 + 8t, y = -1 - 3t, z = 8 + 6t Forma simétrica: (x + 7) / 8 = (y + 1) / (-3) = (z - 8) / 6 3) O baricentro do triângulo ABC é G = (-1/3, 0, 1). Substituindo as coordenadas de G na equação da reta r, temos: 5(-1/3) - 3(0) + k = 0 -5/3 + k = 0 k = 5/3 4) A altura AH é perpendicular à base BC, então temos que encontrar a equação da reta que passa por A e é perpendicular a BC. A base BC tem vetor diretor v = (6, 8) e um ponto P = (0, 0), então o vetor diretor da reta perpendicular é u = (-8, 6). A reta perpendicular passa por A = (-3, 0), então sua equação é: x + 3 = -4/3(y - 0) x + 3 = -4/3y y = -3/4x - 1 Agora, podemos encontrar o ponto H, que é a interseção entre a reta perpendicular e BC. A equação de BC é y = 4/3x, então temos: -3/4x - 1 = 4/3x -25/12x = 1 x = -12/25 y = 16/25 Agora, podemos calcular a distância entre A e H usando a fórmula da distância entre dois pontos: d(AH) = sqrt((x_A - x_H)^2 + (y_A - y_H)^2) d(AH) = sqrt((-3 - (-12/25))^2 + (0 - 16/25)^2) d(AH) = sqrt(144/625 + 256/625) d(AH) = sqrt(400/625) d(AH) = 4/5 5) A distância entre duas retas paralelas é a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta. Podemos escolher qualquer ponto da reta r e calcular a distância até a reta s. Vamos escolher o ponto P = (0, 13/4), que é o ponto de interseção entre r e o eixo y. A distância entre P e s é: d(P, s) = |3(0) + 4(13/4) + 7| / sqrt(3^2 + 4^2) d(P, s) = 27 / 5sqrt(3) 6) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y = -x + 2. O centro da circunferência está na reta y = 2x, então sua equação é y = 2x + c. Substituindo as coordenadas de A e B na equação da reta, temos: 0 = -2 + c c = 2 Então, a equação da circunferência é: (x - 1)^2 + (y - 2x - 2)^2 = 2^2 + 2^2 7) A equação da circunferência pode ser escrita como: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 Derivando implicitamente, temos: 2(x - 1) + 2(y - 2)y' = 0 y' = (1 - x)/(y - 2) No ponto P = (1, 0), temos: y' = (1 - 1)/(0 - 2) = 0 Então, a reta tangente é horizontal e passa pelo ponto P. Sua equação é y = 0. 8) A reta 3x + 4y + 15 = 0 tem vetor normal n = (3, 4). A distância entre a reta e o centro da circunferência é: d = |3(2) + 4(1) - 15| / sqrt(3^2 + 4^2) d = 2sqrt(2) O raio da circunferência é sqrt(4 + 10 + 35) = 3sqrt(3). Então, temos: d < r Logo, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. 9) A equação da circunferência pode ser escrita como: (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10 A reta x + y - 3 = 0 tem vetor normal n = (1, 1). A distância entre a reta e o centro da circunferência é: d = |1(-2) + 1(1) - 3| / sqrt(1^2 + 1^2) d = sqrt(2) A corda é perpendicular à reta, então seu comprimento é 2d = 2sqrt(2). 10) A equação da reta AB é x = 0 e a equação da reta perpendicular a AB que passa por P = (x, y) é y = -x + k, onde k é uma constante. Substituindo essas equações na equação dada, temos: (x^2 + y^2) / (3x^2 + 3y^2) = 1/3 3x^2 + 3y^2 = x^2 + y^2 + 3x^2y^2 2x^2 + 2y^2 - 3x^2y^2 = 0 x^2 + y^2 = 3/2(x^2y^2) Substituindo y = -x + k, temos: 2x^2 + 2(-x + k)^2 = 3/2(x^2(-x + k)^2) 2x^2 + 2x^2 - 4kx + k^2 = 3/2x^2(x^2 - 2kx + k^2) 4x^4 - 8kx^3 + (4k^2 + 3)x^2 - 4k^3x + k^4 = 0 O lugar geométrico dos pontos P(x, y) que satisfazem essa equação é uma curva chamada lemniscata de Bernoulli.