1. Determine a equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas para: a) A reta que passa pelo ponto (6,−5, 2) e é paralela ao vetor ...

1. Determine a equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas para:

a) A reta que passa pelo ponto (6,−5, 2) e é paralela ao vetor ⟨1, 3,−2/3⟩

b) A reta que passa pelo ponto (2, 2.4, 3.5) e é paralela ao vetor 3i+ 2j − k

c) A reta que passa pelo ponto (0, 14,−10) e é paralela à reta x = −1 + 2t, y = 6 − 3t, z = 3 + 9t

d) A reta que passa pelo ponto (1, 0, 6) e é perpendicular ao plano x+ 3y + z = 5

e) A reta que passa pelos pontos (0, 1/2, 1) e (2, 1,−3)

f) A reta que passa pelos pontos (−8, 1, 4) e (3,−2, 4)

g) A reta de intersecção dos planos x+ 2y + 3z = 1 e x− y + z = 1

2. Mostre que as seguintes equações paramétricas representam a mesma reta: x = 1 + 2t, y = 2 + 6t, z = 3− 4t; e x = 2 + s, y = 5 + 3s, z = 5 + 2s.

3. Uma reta L passa pelos pontos P0 = (3,−2, 1) e P1 = (5, 1, 0). Determine as equações paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine também os pontos em que a reta intercepta os planos coordenados.

4. Verificar se os pontos A(5,−5, 6) e B(4,−1, 12) pertencem à reta: x− 3

−1
=

y + 1

2
=

z − 2

−2

5. Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando os pontos a seguir:

a) P (1, 3,−2) e Q(2,−1, 3)

b) P (−1, 1,−1) e Q(−2,−1, 2)

c) P (4, 0,−3) e Q(5,−4, 2)

d) P (
√
2, 3,−2) e Q(7, 1,−4)

e) P (0,−1, 1) e Q(1
2
, 1
3
, 1
4
)

6. Em que pontos a reta x = t, y = 2t, z = 1− t intercepta a esfera x2 + y2 + (z − 1)2 = 6?

7. Determine uma equação linear e equações paramétricas do plano que contém:

1. A = (2,−1, 3), B = (0, 2, 1), C = (1, 3, 2)

2. A = (0, 0, 0), B = (2, 1, 0), C = (1, 0, 0)

3. A = (5, 7,−2), B = (8, 2,−3), C = (1, 2, 4)

4. A = (0, 0, 2), B = (1, 2, 2), C = (1, 0, 2)

8. Determine uma parametrização para o plano 2x+ y − z = −6

9. Determine equações paramétricas para o plano 3x− 2y − z − 6 = 0.

10. Os pontos A = (1, 1,−2) e B = (2, 0, 1) pertencem ao plano 2x+ 3y + z − 3 = 0 ? .

11. Determine o produto vetorial a⃗ × b⃗ e verifique que ele é ortogonal a a⃗ e b⃗.

a) a⃗ = ⟨1, 2, 0⟩ , b⃗ = ⟨0, 3, 1⟩;

b) a⃗ = ⟨5, 1, 4⟩, b⃗ = ⟨−1, 0, 2⟩;

c) a⃗ = i + 3j − 2k, b⃗ = −i + 5k;

d) a⃗ = j + 7k, b⃗ = 2i − j + 4k.

12. Dados os vetores u⃗ = (2,−1, 1), v⃗ = (1,−1, 0) e w⃗ = (−1, 2, 2), calcular:

a) w⃗ × v⃗

b) v⃗ × (w⃗ − u⃗)

c) (u⃗+ v⃗)× ( ⃗u− v⃗)

d) (2u⃗)× (3v⃗)

e) (u⃗× v⃗)× (v⃗ × u⃗)

f) (u⃗× v⃗) · w⃗

g) (u⃗+ v⃗) · (u⃗× w⃗)

13. Demonstre que (⃗a− b⃗)× (⃗a+ b⃗) = 2(⃗a× b⃗).

14. Se a⃗ = ⟨3, 1, 2⟩, b⃗ = ⟨−1, 1, 0⟩ e c⃗ = ⟨0, 0,−4⟩, mostre que a⃗× (⃗b× c⃗) ̸= (⃗a× b⃗)× c⃗

15. Determine o vetor w⃗ ∈ R3 de modo que w⃗ seja ortogonal ao eixo y e ao vetor u⃗ = w⃗× v⃗, onde u⃗ = ⟨1, 1,−1⟩ e v⃗ = ⟨2,−1, 1⟩.

16. Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u⃗ = ⟨1,−1, 4⟩ e v⃗ = ⟨3, 2,−2⟩

17. Calcule a área do paralelogramo que tem os vetores u⃗ = (3, 2,−1) e v⃗ = (1, 2, 3) como lados adjacentes.

18. Calcule a tal que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ = (3, 1,−1) e v⃗ = (a, 0, 2) seja igual a 2
√6.