Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de 2 L/min,...

Question

Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de 2 L/min, de modo que o seu raio r passa a ser uma função do tempo.
1. Lembrando que o volume de uma esfera de raio R > 0 é (4/3)πR3, determine a ex- pressão que relaciona r(t) com a taxa de variação do volume e do raio com respeito ao tempo.
2. Usando os dados do problema, calcule a taxa de variação do raio no instante t0 em que r(t0) = 1. O raio está aumentando ou diminuindo?
3. Sabendo que a área de uma esfera de raio R > 0 é 4πR2, mostre que a taxa de variação da área superficial (com respeito ao tempo) do balão é inversamente proporcional ao seu raio.
1. Expressão que relaciona r(t) com a taxa de variação do volume e do raio com respeito ao tempo.
2. Cálculo da taxa de variação do raio no instante t0 em que r(t0) = 1 e se o raio está aumentando ou diminuindo.
3. Demonstração de que a taxa de variação da área superficial do balão é inversamente proporcional ao seu raio.

Ed · Answer

1. A expressão que relaciona r(t) com a taxa de variação do volume e do raio com respeito ao tempo é dV/dt = 4πr²(dr/dt), onde V é o volume do balão, r é o raio do balão e t é o tempo.

2. No instante t0 em que r(t0) = 1, temos que dV/dt = -2 L/min, pois o gás está escapando do balão. Substituindo na expressão encontrada no item 1, temos:

-2 = 4π(1)²(dr/dt)
-2 = 4π(dr/dt)
dr/dt = -1/(2π)

A taxa de variação do raio é negativa, ou seja, o raio está diminuindo.

3. A área superficial do balão é A = 4πr². Derivando em relação ao tempo, temos:

dA/dt = 8πr(dr/dt)

Substituindo a expressão encontrada no item 1, temos:

dA/dt = 8πr(dV/dt)/(4πr²)
dA/dt = 2(dV/dt)/r

Como dV/dt é constante e negativo, a taxa de variação da área superficial é inversamente proporcional ao raio.

Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de 2 L/min,...

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