O objetivo desta tarefa é determinar qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma circuferência de raio 4. Para nos ajudar na...

Question

O objetivo desta tarefa é determinar qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma circuferência de raio 4. Para nos ajudar na tarefa exibimos ao lado um desenho contendo esta circunferência e a quarta parte do retângulo em questão. 1. Utilizando o desenho acima e lembrando que a equação da circunferência é dada por x2 + y2 = 16, verifique que a altura y apontada na figura é dada por y = √16−x2. 2. Denotando por A(x) a área do retângulo (inscrito) cuja base mede 2x e altura 2y, use o item acima para concluir que esta área é dada por A(x) = 4x√16−x2, x ∈ (0, 4). Conforme veremos nas seman

O objetivo da tarefa é determinar o retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma circunferência de raio 4.
A altura y do retângulo é dada por y = √16−x2.
A área do retângulo inscrito é dada por A(x) = 4x√16−x2, x ∈ (0, 4).

Ed · Answer

Para encontrar o retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma circunferência de raio 4, precisamos maximizar a função A(x) = 4x√(16-x²), onde x é a metade da base do retângulo.

Para isso, podemos derivar a função A(x) em relação a x, igualar a zero e encontrar o valor de x que maximiza a área.

A'(x) = 4(√(16-x²) - x²/√(16-x²))

Igualando a derivada a zero, temos:

4(√(16-x²) - x²/√(16-x²)) = 0

√(16-x²) - x²/√(16-x²) = 0

√(16-x²) = x²/√(16-x²)

16-x² = x⁴/(16-x²)

16(16-x²) - x⁴ = 0

256 - 16x² - x⁴ = 0

(x² - 8)(x² - 8) = 0

x² = 8

Portanto, a metade da base do retângulo é x = √8, e a altura y é y = √(16-x²) = √(16-8) = √8.

Assim, a área do retângulo é A = 4xy = 4√8 * √8 = 32.

Portanto, o retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma circunferência de raio 4 tem área igual a 32.

O objetivo desta tarefa é determinar qual é o retângulo de maior área que pode ser inscrito em uma circuferência de raio 4. Para nos ajudar na...

Cálculo I

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regra da cadeia

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