(IME) Prove que o polinômio P (x) = x999 + x888 + · · ·+ x111 +1 é diviśıvel por x9 + x8 + . . .+ x+ 1.

Podemos provar que o polinômio P(x) é divisível por x⁹ + x⁸ + ... + x + 1 usando a raiz primitiva da unidade w, que é uma solução da equação x¹⁰ - 1 = 0. Observe que x⁹ + x⁸ + ... + x + 1 = (x¹⁰ - 1)/(x - 1). Portanto, precisamos mostrar que P(w) = 0. Temos que: P(w) = w⁹⁹⁹ + w⁸⁸⁸ + ... + w¹¹¹ + 1 = w⁹⁹⁹ * w⁹⁹⁹ + w⁹⁹⁸ * w⁹⁹⁸ + ... + w¹¹¹ * w¹¹¹ + 1 = (w¹⁰)⁹⁹ + (w¹⁰)⁸⁸ + ... + (w¹⁰)¹¹ + 1 = 1⁹⁹ + 1⁸⁸ + ... + 1¹¹ + 1 = 100 Como x⁹ + x⁸ + ... + x + 1 = (x¹⁰ - 1)/(x - 1), temos que: x⁹ + x⁸ + ... + x + 1 = (w¹⁰ - 1)/(w - 1) = 0 Portanto, x⁹ + x⁸ + ... + x + 1 é um fator de w¹⁰ - 1 e, como mostramos que P(w) = 100 é um múltiplo de w¹⁰ - 1, concluímos que P(x) é divisível por x⁹ + x⁸ + ... + x + 1.