a) Diga que resultado lhe assegura que a sequência { })sen( ne n− é convergente e calcule seu limite. b)Prove primeiro, que a sequuência    ...

a) Diga que resultado lhe assegura que a sequência { })sen( ne n− é convergente e
calcule seu limite.

b)Prove primeiro, que a sequuência








++ 32

2

nn

n
é limitada e posteriormente,

mostre em seguida que é convergente e calcule seu limite.

c) Use o método da indução finita para provar que:
( ) nrr n +≥+ 11
onde r é uma constante não negativa.
a) Dizer que resultado assegura que a sequência { })sen( ne n− é convergente e calcular seu limite.
b) Provar que a sequência








++ 32

2

nn

n
é limitada e posteriormente mostrar que é convergente e calcular seu limite.
c) Usar o método da indução finita para provar que ( ) nrr n +≥+ 11, onde r é uma constante não negativa.
a) O resultado que assegura que a sequência { })sen( ne n− é convergente é o Teorema do confronto.
b) A sequência








++ 32

2

nn

n
é limitada pelo Teorema do confronto e é convergente pelo Teorema do confronto.
c) O método da indução finita pode ser usado para provar que ( ) nrr n +≥+ 11, onde r é uma constante não negativa.

Cálculo I

•

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Aprendendo Através de Exercícios

21/10/2023

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Cálculo I • Universidade Federal de UberlândiaUniversidade Federal de Uberlândia

Reginaldo Ribeiro

Respostas

21.10.2023

a) O resultado que assegura que a sequência { })sen( ne n− é convergente é o Teorema do confronto. O limite da sequência é 0. b) A sequência é limitada pelo Teorema do confronto e é convergente pelo Teorema do confronto. O limite da sequência é 1/2. c) Usando o método da indução finita, podemos provar que ( ) nrr n +≥+ 11, onde r é uma constante não negativa. Para n = 1, temos r1 ≥ r + 1, o que é verdadeiro. Suponha que a desigualdade seja verdadeira para n = k, ou seja, rk ≥ r + k. Então, para n = k + 1, temos: r(k+1) ≥ r + (k+1) r(k+1) ≥ rk + 1 r(k+1) + 1 ≥ rk + k + 2 (r+1)(k+1) ≥ rk + k + 2 Como rk ≥ r + k, temos: (r+1)(k+1) ≥ r + 2k + 2 r(k+1) + k + 1 ≥ r + 2k + 2 r(k+1) ≥ k + 1 Portanto, a desigualdade é verdadeira para n = k + 1 e, portanto, é verdadeira para todos os naturais.