Prove que a sequência { n2 2n+1 sin π n } é convergente e ache seu limite.

Para provar que a sequência é convergente, podemos usar o critério de Cauchy. Primeiro, vamos analisar a sequência: { n^2 / (2n + 1) * sin(πn) } Podemos dividir a sequência em duas partes: n^2 / (2n + 1) e sin(πn). A sequência n^2 / (2n + 1) é uma sequência convergente, pois o limite dessa sequência quando n tende ao infinito é 1/2. A sequência sin(πn) oscila entre -1 e 1, mas não é convergente. No entanto, quando multiplicamos as duas sequências, a parte oscilante de sin(πn) é anulada pela parte convergente de n^2 / (2n + 1), resultando em uma sequência convergente. Portanto, a sequência { n^2 / (2n + 1) * sin(πn) } é convergente. Para encontrar seu limite, podemos multiplicar os limites das duas partes da sequência: lim (n^2 / (2n + 1)) * lim (sin(πn)) O limite de n^2 / (2n + 1) é 1/2, como mencionado anteriormente. O limite de sin(πn) não existe, pois oscila entre -1 e 1. Portanto, o limite da sequência é indeterminado.