2) Dada a função ),()y,x(, yx yx )y,x(f 00 22 4 ≠ + = e 000 =),(f, a) Verifique que f é contínua na origem. b) Calcule as derivadas parciais de f...

a) Para verificar se a função é contínua na origem, é necessário verificar se o limite da função quando x e y se aproximam de 0 é igual ao valor da função na origem. Para isso, podemos utilizar a definição de continuidade: lim (x,y) → (0,0) f(x,y) = f(0,0) Substituindo os valores na função, temos: lim (x,y) → (0,0) [(y^2 - x^2)/(y^2 + x^2)]^2 = 0 E f(0,0) = 0 Como o limite da função é igual ao valor da função na origem, podemos concluir que a função é contínua na origem. b) Para calcular as derivadas parciais de f na origem, é necessário utilizar a definição de derivada parcial: fx(0,0) = lim h → 0 [f(h,0) - f(0,0)]/h Substituindo os valores na função, temos: fx(0,0) = lim h → 0 [(0^2 - h^2)/(0^2 + h^2)]^2/h fx(0,0) = lim h → 0 (-h^2/h^3) fx(0,0) = lim h → 0 -1/h fx(0,0) = -∞ E fy(0,0) = lim k → 0 [f(0,k) - f(0,0)]/k Substituindo os valores na função, temos: fy(0,0) = lim k → 0 [(k^2 - 0^2)/(k^2 + 0^2)]^2/k fy(0,0) = lim k → 0 (k^2/k^3) fy(0,0) = lim k → 0 1/k fy(0,0) = ∞ c) A função f não é diferenciável na origem, pois as derivadas parciais em relação a x e y não existem na origem.