2) Dada a função )0,0()y,x(, yx yx)y,x(f 22 3 ≠ + = e 0)0,0(f = a. Verifique que f é contínua na origem. b. Calcule as derivadas parciais de f...

a. Para verificar se a função é contínua na origem, precisamos verificar se o limite da função quando x e y se aproximam de 0 é igual ao valor da função na origem. Podemos escrever a função como: f(x,y) = (2x^3 + 3y^2)/(x^2 + y^2) Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0): lim (x,y) → (0,0) f(x,y) = lim (x,y) → (0,0) (2x^3 + 3y^2)/(x^2 + y^2) Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite: lim (x,y) → (0,0) (2x^3 + 3y^2)/(x^2 + y^2) = lim (x,y) → (0,0) (6x^2)/(2x) + (6y)/(2y) = lim (x,y) → (0,0) 3x + 3 = 3 Portanto, o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) é igual a 3, que é o valor da função na origem. Logo, a função é contínua na origem. b. Para calcular as derivadas parciais de f na origem, podemos usar a definição de derivada parcial: fx(0,0) = lim h → 0 (f(h,0) - f(0,0))/h = lim h → 0 (2h^3)/(h^2) = lim h → 0 2h = 0 fy(0,0) = lim k → 0 (f(0,k) - f(0,0))/k = lim k → 0 (3k^2)/(k^2) = lim k → 0 3 = 3 Portanto, fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 3. c. Para verificar se a função é diferenciável na origem, precisamos verificar se existem as derivadas parciais fx e fy e se elas são contínuas na origem. Como fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 3, as derivadas parciais existem. No entanto, fx não é contínua na origem, pois lim (x,y) → (0,0) fx(x,y) = 0, mas fx(0,0) = 0. Portanto, a função não é diferenciável na origem.