2) Considere a região ℜ do plano limitada pelas curvas x 1y = , y = x, y = 0 e x = 2. a) Determine o valor da área da região ℜ. b) Se S é o sól...

a) Para determinar a área da região ℜ, podemos utilizar a integral dupla. A área é dada por: A = ∬ℜ dA Onde dA é o elemento de área. Podemos escrever dA como dxdy ou dydx, dependendo da ordem de integração escolhida. Neste caso, é mais conveniente integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Assim, temos: A = ∫0² dx ∫0^x dy A = ∫0² x dx A = [x²/2]0² A = 2 Portanto, a área da região ℜ é 2 unidades de área. b) Para determinar o volume do sólido S, podemos utilizar o método dos discos. Cada disco tem raio y e espessura dx. Assim, o volume do sólido é dado por: V = π ∫0² y² dx Para encontrar y em função de x, podemos observar que a curva y = x divide a região ℜ em duas partes simétricas. Assim, podemos calcular o volume de uma dessas partes e multiplicar por 2. Para x entre 0 e 1, temos y = x. Para x entre 1 e 2, temos y = 2 - x. Portanto, temos: V = 2π ∫0¹ x² dx + 2π ∫1² (2 - x)² dx V = 2π [x³/3]0¹ + 2π [(2 - x)³/3]1² V = 2π/3 + 2π/3 V = 4π/3 Portanto, o volume do sólido S é 4π/3 unidades de volume.