2) Considere a região ℜ do plano limitada pelas curvas y = x e xy = . c) Determine o valor da área da região ℜ. d) Se S é o sólido obtido pela...

Para determinar a área da região ℜ, é necessário encontrar os pontos de interseção entre as curvas y = x e xy = 1. Substituindo y = x na segunda equação, temos x^2 = 1, o que implica em x = 1 ou x = -1. Assim, os pontos de interseção são (1,1) e (-1,-1). A área da região ℜ pode ser calculada pela integral dupla da função f(x,y) = 1, sobre a região ℜ. Integrando em relação a x, temos: ∫[de -1 até 1] ∫[de y até 1] 1 dx dy Integrando em relação a y, temos: ∫[de -1 até 1] ∫[de -1 até x] 1 dy dx Resolvendo as integrais, temos: ∫[de -1 até 1] (x + 1) dx = 2 Portanto, a área da região ℜ é igual a 2 unidades de área. Para determinar o volume do sólido S, é necessário utilizar o método de discos ou de arruelas. Utilizando o método de discos, temos: V = ∫[de -1 até 1] πy^2 dx Substituindo y = x na segunda equação, temos x^2 = 1, o que implica em x = 1 ou x = -1. Assim, os pontos de interseção são (1,1) e (-1,-1). Integrando em relação a x, temos: V = ∫[de -1 até 1] πx^2 (x - y) dx Resolvendo a integral, temos: V = π/6 (4 - 2√2) Portanto, o volume do sólido S é igual a π/6 (4 - 2√2) unidades de volume.