5) Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitada pelas superfícies dadas, em cada caso: a) 3;40 2222 =+−−≤≤ yxyxz b) 32;2;42...

Para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies dadas, é necessário utilizar as coordenadas polares. a) Para a primeira superfície, temos: r^2 = x^2 + y^2 z = 3 - x - y^2 Substituindo as coordenadas polares, temos: x = r cos(theta) y = r sen(theta) Assim, temos: r^2 = (r cos(theta))^2 + (r sen(theta))^2 r^2 = r^2 (cos^2(theta) + sen^2(theta)) r^2 = r^2 E: z = 3 - r cos(theta) - (r sen(theta))^2 O volume pode ser calculado pela integral tripla: V = ∭ dV = ∫∫∫ r dz dr dθ Integrando em relação a z, temos: V = ∫∫ (3 - r cos(theta) - r^2 sen^2(theta)) r dr dθ Integrando em relação a r, temos: V = ∫∫ (3r - r^3 cos(theta) - r^3 sen^2(theta)) dr dθ Integrando em relação a theta, temos: V = ∫ [∫ (3r - r^3 cos(theta) - r^3 sen^2(theta)) dr] dθ V = ∫ [r^2/2 - r^4/4 cos(theta) - r^4/4 sen^2(theta)] dθ V = π/2 (3/2) Portanto, o volume do sólido é (3π/4) unidades cúbicas. b) Para a segunda superfície, temos: r^2 = x^2 + y^2 z = 32 - 2x^2 - 2y^2 - z^2 Substituindo as coordenadas polares, temos: x = r cos(theta) y = r sen(theta) Assim, temos: r^2 = (r cos(theta))^2 + (r sen(theta))^2 r^2 = r^2 (cos^2(theta) + sen^2(theta)) r^2 = r^2 E: z = 32 - 2r^2 (cos^2(theta) + sen^2(theta)) - r^2 O volume pode ser calculado pela integral tripla: V = ∭ dV = ∫∫∫ r dz dr dθ Integrando em relação a z, temos: V = ∫∫ (32 - 2r^2 - r^2) r dr dθ Integrando em relação a r, temos: V = ∫∫ (32r - 3r^3) dr dθ Integrando em relação a theta, temos: V = ∫ [∫ (32r - 3r^3) dr] dθ V = ∫ [16r^2 - 3r^4] dθ V = π/2 (512/15) Portanto, o volume do sólido é (256π/15) unidades cúbicas. c) Para a terceira superfície, temos: y^2 = xz z = 8 - 4x^2 - y^2 Substituindo as coordenadas polares, temos: x = r cos(theta) y = r sen(theta) Assim, temos: y^2 = r^2 cos(theta) sen(theta) z = 8 - 4r^2 cos^2(theta) - r^2 sen^2(theta) O volume pode ser calculado pela integral tripla: V = ∭ dV = ∫∫∫ r dz dr dθ Integrando em relação a z, temos: V = ∫∫ (8 - 4r^2 cos^2(theta) - r^2 sen^2(theta)) r dr dθ Integrando em relação a r, temos: V = ∫∫ (8r - 4/3 r^3 cos^2(theta) - 1/3 r^3 sen^2(theta)) dr dθ Integrando em relação a theta, temos: V = ∫ [∫ (8r - 4/3 r^3 cos^2(theta) - 1/3 r^3 sen^2(theta)) dr] dθ V = ∫ [4r^2 - 1/3 r^4 cos^2(theta) - 1/12 r^4 sen^2(2theta)] dθ V = π/2 (64/3) Portanto, o volume do sólido é (32π/3) unidades cúbicas.