(ANPEC 2014) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a, b, c, d são quatro constantes diferentes de zero Então: Cov(aX+bY,cX+dY)=acVar(X)+bdVar(Y)+(ad+cb)Cov(X,Y)

A alternativa correta é: Cov(aX+bY,cX+dY)=Corr(X,Y) Explicação: A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é definida como: Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] Onde E[X] e E[Y] são as médias de X e Y, respectivamente. Usando a propriedade distributiva da covariância, temos: Cov(aX+bY,cX+dY) = Cov(aX,cX) + Cov(aX,dY) + Cov(bY,cX) + Cov(bY,dY) Como a covariância é linear em cada argumento, temos: Cov(aX,cX) = aCov(X,X) = aVar(X) Cov(bY,dY) = bCov(Y,Y) = bVar(Y) Cov(aX,dY) = aCov(X,dY) = adCov(X,Y) Cov(bY,cX) = bCov(Y,cX) = bcCov(Y,X) Substituindo na equação anterior, temos: Cov(aX+bY,cX+dY) = aVar(X) + bVar(Y) + adCov(X,Y) + bcCov(Y,X) A correlação entre X e Y é definida como: Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (sqrt(Var(X)) * sqrt(Var(Y))) Substituindo a equação da covariância na equação da correlação, temos: Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (sqrt(Var(X)) * sqrt(Var(Y))) = Cov(X,Y) / (sqrt(Cov(X,X)) * sqrt(Cov(Y,Y))) Substituindo as expressões anteriores na equação original, temos: Cov(aX+bY,cX+dY) = aVar(X) + bVar(Y) + adCov(X,Y) + bcCov(Y,X) = (a^2 + b^2)Var(X) + (c^2 + d^2)Var(Y) + 2(ac + bd)Cov(X,Y) Dividindo ambos os lados por sqrt((a^2 + b^2)Var(X) * (c^2 + d^2)Var(Y)), temos: Cov(aX+bY,cX+dY) / (sqrt((a^2 + b^2)Var(X) * (c^2 + d^2)Var(Y))) = (ac + bd)Cov(X,Y) / (sqrt((a^2 + b^2)Var(X) * (c^2 + d^2)Var(Y))) Usando a definição de correlação, temos: Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (sqrt(Var(X)) * sqrt(Var(Y))) Substituindo na equação anterior, temos: Cov(aX+bY,cX+dY) / (sqrt((a^2 + b^2)Var(X) * (c^2 + d^2)Var(Y))) = Corr(X,Y) Portanto, a alternativa correta é: Cov(aX+bY,cX+dY)=Corr(X,Y)