Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 m². A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 12 metr...

Para encontrar as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído esse galpão, devemos minimizar a área do terreno sujeito às restrições impostas pela prefeitura. Sejam x e y as dimensões do retângulo que representa a área do galpão. Temos que: xy = 12.100 A área do terreno é dada por: A = (x + 20 + 20)(y + 25 + 12) = (x + 40)(y + 37) Expandindo a expressão, temos: A = xy + 37x + 40y + 1480 Substituindo xy por 12.100, temos: A = 12.100 + 37x + 40y + 1480 Agora, precisamos minimizar A sujeito à restrição xy = 12.100. Podemos fazer isso usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função L(x, y, λ) = A - λ(xy - 12.100) e calculamos suas derivadas parciais: Lx = 37 - λy Ly = 40 - λx Lλ = xy - 12.100 Igualando as derivadas a zero, temos: 37 - λy = 0 40 - λx = 0 xy - 12.100 = 0 Resolvendo o sistema, encontramos: x = 242/3 m y = 605/3 m λ = 3/100 m^-1 Portanto, a área mínima do terreno é dada por: A = 12.100 + 37(242/3) + 40(605/3) + 1480 ≈ 1.287.000 m² As dimensões do terreno são, aproximadamente, 242/3 + 40 + 40 = 322/3 m e 605/3 + 25 + 12 = 674/3 m. A alternativa correta é a letra A) Área do lote é de aproximadamente 126,91 m X 212,62 m.