. Sendo assim, imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por: C(x) = 3x ^ 3 - 441x + 192 Quantas unidades deverão ser fab?

Para encontrar a quantidade de unidades que deve ser fabricada para que o custo médio seja mínimo, precisamos encontrar o ponto crítico da função C(x) e verificar se é um mínimo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função C(x): C'(x) = 9x^2 - 441 Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico: 9x^2 - 441 = 0 9x^2 = 441 x^2 = 49 x = ±7 Temos, portanto, dois pontos críticos: x = 7 e x = -7. Para verificar se são pontos de mínimo, precisamos calcular a segunda derivada da função C(x): C''(x) = 18x Substituindo x = 7 e x = -7 na segunda derivada, temos: C''(7) = 126 > 0 C''(-7) = -126 < 0 Como C''(7) é positivo, temos um ponto de mínimo em x = 7. Portanto, a quantidade de unidades que deve ser fabricada para que o custo médio seja mínimo é x = 7. Para provar que é um mínimo, podemos verificar que a segunda derivada é positiva em x = 7, confirmando que é um ponto de mínimo.