Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por ʃ ʃ z dS π² 3π²/...

Para calcular a integral de superfície de S, precisamos encontrar o vetor normal unitário da superfície S e, em seguida, calcular a integral de superfície usando a fórmula: ʃ ʃ z dS = ʃ ʃ F . dS onde F é o campo vetorial F = (0, 0, z) e dS é o elemento de área da superfície S. Para encontrar o vetor normal unitário da superfície S, podemos usar o gradiente da equação do cilindro x² + y² = 1, que é dado por: grad(x² + y²) = (2x, 2y, 0) Normalizando este vetor, obtemos: n = (x, y, 0)/sqrt(x² + y²) A superfície S é limitada pelos planos z = 0 e z = x + 1, portanto, a integral de superfície pode ser dividida em duas partes: ʃ ʃ z dS = ʃ ʃ F . dS = ʃ ʃ (0, 0, z) . (x, y, 0)/sqrt(x² + y²) dA onde dA é o elemento de área da projeção da superfície S no plano xy. Integrando em coordenadas polares, temos: ʃ ʃ z dS = ʃ 0 ²π ʃ 0 ¹ (0, 0, r cosθ) . (r cosθ, r sinθ, 0)/r dA = ʃ 0 ²π ʃ 0 ¹ r cosθ dA = ʃ 0 ²π ʃ 0 ¹ r cosθ r dr dθ = ʃ 0 ²π [r²/2 sinθ] 0 ¹ dr dθ = ʃ 0 ²π [1/2 sinθ] 0 ¹ dθ = ʃ 0 ²π 1/2 dθ = π Portanto, a resposta correta é π.