Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da matemática que examinava as operações entre números e a busca por sol...

Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da matemática que examinava as operações entre números e a busca por soluções de equações. Conforme a matemática foi se desenvolvendo, a álgebra caminhou junto, se tornando um campo de pesquisa muito mais amplo a partir dos conceitos das Estruturas Algébricas. As operações antes realizadas com números puderam ser generalizadas, tornando assim essas definições e estudos muito mais abrangentes. Nessa atividade MAPA, trabalharemos com a estrutura algébrica Grupo, e iremos propor que você aplique os conceitos de Subgrupos e Isomorfismos de Grupos. Dessa forma, você deve responder às seguintes questões: a) Considere o conjunto G={2m∙3n :m ,n∈Z }. Mostre que G é um subgrupo de (R¿ , ∙ ) que é o grupo dos números reais excluindo o zero, munido da operação usual de multiplicação. Resolução: Para provar que G é um subgrupo de (R¿ , ∙ ), devemos mostrar que ele é fechado sob a operação de multiplicação, que contém o elemento neutro e que é associativo. Fechamento sob a operação de multiplicação: Para todo 2m ∙3n e 2p ∙3q em G, temos que: (2m ∙3n ) ∙ (2p ∙3q )=2m∙2p ∙3n ∙3q=2m+ p ∙3n+q . Como m, n, p e q são inteiros, então m+ p e n+q também são inteiros. Portanto, 2m+ p∙3n+q está em G. Elemento neutro: O elemento neutro de (R¿ , ∙ ) é 1. Como 1=20 ∙30, então 1 está em G. Associatividade: A associatividade da operação de multiplicação é uma propriedade geral dos números reais, portanto também é válida para os elementos de G. Portanto, G é um subgrupo de (R¿ , ∙ ). b) Considere o conjunto J={m+¿ :m,n∈Z }. Mostre que J é um subgrupo de ¿ que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de soma. Resolução: Para provar que J é um subgrupo de ¿, devemos mostrar que ele é fechado sob a operação de soma, que contém o elemento neutro e que é associativo. Fechamento sob a operação de soma: Para todo m+¿ e p+iq em J, temos que: (m+¿ )+( p+iq )=m+¿+ p+iq=(m+ p )+i (n+q ) . Como m, n, p e q são inteiros, então m+ p e n+q também são inteiros. Portanto, (m+ p )+i (n+q ) está em J. Elemento neutro: O elemento neutro de ¿ é 0. Como 0=0+0 i, então 0 está em J. Associatividade: A associatividade da operação de soma é uma propriedade geral dos números complexos, portanto também é válida para os elementos de J. Portanto, J é um subgrupo de ¿. c) Como G e J são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, G e J também são grupos com as operações que herdam de R¿ e C, respectivamente. Sendo assim, mostre que (G ,∙ ) e ¿ são grupos isomorfos e para isso, considere a função ϕ :¿ dada por: ϕ (m+¿ )=2m∙3ne siga os seguintes passos: 1. Mostre que ϕ é um homomorfismo de grupos. 2. Mostre que ϕ é injetora. 3. Mostre que ϕ é sobrejetora. 4. Conclua que ϕ é um isomorfismo de grupos.
a) Mostrar que G é um subgrupo de (R¿ , ∙ )
b) Mostrar que J é um subgrupo de ¿
c) Mostrar que (G ,∙ ) e ¿ são grupos isomorfos
I. G é um subgrupo de (R¿ , ∙ )
II. J é um subgrupo de ¿
III. (G ,∙ ) e ¿ são grupos isomorfos
IV. A função ϕ(m+¿)=2m∙3n é um homomorfismo de grupos
V. A função ϕ(m+¿)=2m∙3n é injetora
VI. A função ϕ(m+¿)=2m∙3n é sobrejetora
VII. A função ϕ(m+¿)=2m∙3n é um isomorfismo de grupos
a) I, II e III estão corretas.
b) IV, V e VI estão corretas.
c) Todas as afirmativas estão corretas.
d) Todas as afirmativas estão incorretas.