MAPA - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS - Resolvida (1)

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
	Acadêmico:
	R.A.
	Curso: Licenciatura em Matemática
	 Disciplina: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
	Valor da atividade: 3,0 pontos
	Prazo: 
Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da matemática que examinava as operações entre números e a busca por soluções de equações. Conforme a matemática foi se desenvolvendo, a álgebra caminhou junto, se tornando um campo de pesquisa muito mais amplo a partir dos conceitos das Estruturas Algébricas. As operações antes realizadas com números puderam ser generalizadas, tornando assim essas definições e estudos muito mais abrangentes.
Nessa atividade MAPA, trabalharemos com a estrutura algébrica Grupo, e iremos propor que você aplique os conceitos de Subgrupos e Isomorfismos de Grupos. Dessa forma, você deve responder às seguintes questões:
a) Considere o conjunto . Mostre que é um subgrupo de que é o grupo dos números reais excluindo o zero, munido da operação usual de multiplicação.
Resolução:
Para provar que é um subgrupo de , devemos mostrar que ele é fechado sob a operação de multiplicação, que contém o elemento neutro e que é associativo.
Fechamento sob a operação de multiplicação:
Para todo e em , temos que:
Como , , e são inteiros, então e também são inteiros. Portanto, está em .
Elemento neutro:
O elemento neutro de é 1. Como , então 1 está em .
Associatividade:
A associatividade da operação de multiplicação é uma propriedade geral dos números reais, portanto também é válida para os elementos de .
Portanto, é um subgrupo de .
b) Considere o conjunto . Mostre que é um subgrupo de que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de soma.
Resolução:
Para provar que é um subgrupo de , devemos mostrar que ele é fechado sob a operação de soma, que contém o elemento neutro e que é associativo.
Fechamento sob a operação de soma:
Para todo e em , temos que:
Como , , e são inteiros, então e também são inteiros. Portanto, está em .
Elemento neutro:
O elemento neutro de é . Como , então 0 está em .
Associatividade:
A associatividade da operação de soma é uma propriedade geral dos números complexos, portanto também é válida para os elementos de .
Portanto, é um subgrupo de .
c) Como e são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, e também são grupos com as operações que herdam de e , respectivamente. Sendo assim, mostre que e são grupos isomorfos e para isso, considere a função dada por: e siga os seguintes passos:
Mostre que é um homomorfismo de grupos.
Mostre que é injetora.
Mostre que é sobrejetora.
Conclua que é um isomorfismo de grupos.
Resolução:
1. Para mostrar que é um homomorfismo de grupos, devemos mostrar que:
· 
· 
:
Para todo e em , temos que:
Portanto, .
:
Como o elemento neutro de é , então .
Como 1 é o elemento neutro de , então .
Portanto, é um homomorfismo de grupos.
2. Para mostrar que é injetora, devemos mostrar que, para todo e em , se , então .
Suponha que . Então:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Como e são inteiros, então se e somente se . Da mesma forma, se e somente se . Portanto, e .
Assim, . Portanto, é injetora.
3. Para mostrar que é sobrejetora, devemos mostrar que, para todo em , existe em tal que .
Seja em . Então:
Portanto, existe em tal que .
Portanto, é sobrejetora.
4. Como é um homomorfismo de grupos, injetor e sobrejetor, então é um isomorfismo de grupos.
Logo e são grupos isomorfos.
Referências
[1] GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. 5ª Edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.