Sejam X,Y subconjuntos do espaço vetorial V . Mostre que a soma do subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y é o subespaço gerado por ...

Para mostrar que a soma do subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y é o subespaço gerado por X ∪ Y, precisamos mostrar que: 1. O subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y estão contidos no subespaço gerado por X ∪ Y. 2. O subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y juntos geram o subespaço gerado por X ∪ Y. Para provar o primeiro item, observe que qualquer vetor em X ou Y também está em X ∪ Y. Portanto, qualquer combinação linear de vetores em X ou Y também pode ser escrita como uma combinação linear de vetores em X ∪ Y. Isso significa que o subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y estão contidos no subespaço gerado por X ∪ Y. Para provar o segundo item, observe que qualquer vetor em X ∪ Y pode ser escrito como uma combinação linear de vetores em X ou Y. Portanto, qualquer combinação linear de vetores em X ∪ Y também pode ser escrita como uma combinação linear de vetores em X e uma combinação linear de vetores em Y. Isso significa que o subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y juntos geram o subespaço gerado por X ∪ Y. Portanto, concluímos que a soma do subespaço gerado por X e o subespaço gerado por Y é o subespaço gerado por X ∪ Y.