Sejam U,W subespaços do espaço vetorial V . Mostre que a união U ∪W é subespaço de V se, e somente se, U ⊆W ou W ⊆ U .

Para mostrar que a união U ∪ W é subespaço de V, precisamos verificar se ela satisfaz as três propriedades de um subespaço vetorial: 1. O vetor nulo de V pertence a U ∪ W. 2. A soma de quaisquer dois vetores em U ∪ W pertence a U ∪ W. 3. O produto de um escalar qualquer por um vetor em U ∪ W pertence a U ∪ W. Agora, vamos provar que U ∪ W é subespaço de V se, e somente se, U ⊆ W ou W ⊆ U. Se U ⊆ W, então qualquer vetor em U também pertence a W. Portanto, a união U ∪ W é igual a W, que é subespaço de V. Logo, U ∪ W é subespaço de V. Se W ⊆ U, então qualquer vetor em W também pertence a U. Portanto, a união U ∪ W é igual a U, que é subespaço de V. Logo, U ∪ W é subespaço de V. Agora, vamos provar a outra direção. Se U ∪ W é subespaço de V, então precisamos mostrar que U ⊆ W ou W ⊆ U. Suponha que U ⊈ W e W ⊈ U. Isso significa que existem vetores u ∈ U e w ∈ W que não pertencem ao outro subespaço. Como U ∪ W é subespaço de V, então u + w ∈ U ∪ W. Mas u + w não pode pertencer a U nem a W, o que contradiz a hipótese de que U e W são subespaços de V. Portanto, U ⊆ W ou W ⊆ U. Assim, concluímos que a união U ∪ W é subespaço de V se, e somente se, U ⊆ W ou W ⊆ U.