Considere os vetores v1 = (4, 2,−3) , v2 = (2, 1,−2) , v3 = (−2,−1, 0) em R3. (a) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v...

(a) Para verificar se um vetor é combinação linear de outros vetores, precisamos verificar se é possível encontrar constantes c1, c2 e c3 tais que: c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 = vetor desejado i. (1, 1, 1): Podemos verificar que não é possível encontrar constantes c1, c2 e c3 que satisfaçam a equação acima. Portanto, o vetor (1, 1, 1) não é combinação linear de v1, v2 e v3. ii. (4, 2, -6): Podemos verificar que é possível encontrar constantes c1, c2 e c3 que satisfaçam a equação acima, por exemplo, c1 = 1, c2 = 0 e c3 = -2. Portanto, o vetor (4, 2, -6) é combinação linear de v1, v2 e v3. iii. (-2, -1, 1): Podemos verificar que é possível encontrar constantes c1, c2 e c3 que satisfaçam a equação acima, por exemplo, c1 = -1, c2 = 1 e c3 = 0. Portanto, o vetor (-2, -1, 1) é combinação linear de v1, v2 e v3. iv. (-1, 2, 3): Podemos verificar que não é possível encontrar constantes c1, c2 e c3 que satisfaçam a equação acima. Portanto, o vetor (-1, 2, 3) não é combinação linear de v1, v2 e v3. (b) Para mostrar que {v1, v2, v3} é LD, precisamos encontrar constantes não nulas c1, c2 e c3 tais que: c1*v1 + c2*v2 + c3*v3 = 0 Podemos verificar que é possível encontrar constantes não nulas c1, c2 e c3 que satisfaçam a equação acima, por exemplo, c1 = 1, c2 = -2 e c3 = 2. Portanto, {v1, v2, v3} é LD. Para escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois, podemos escolher v3 e escrevê-lo como: v3 = -2*v1 - v2 Note que essa equação é equivalente a: 2*v1 + v2 + v3 = 0 Portanto, podemos escrever v3 como combinação linear de v1 e v2.