AL1_2020s2_Ex2 (4)

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Álgebra Linear 1, Exerćıcios 2
1. Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V . Mostre que o subespaço de V gerado por X é
igual à interseção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto. [[Dica: para mostrar
que dois subconjuntos A,B de V são iguais, o truque é mostrar que A ⊆ B e que B ⊆ A]]. Segue disso
que faz sentido chamar o subespaço gerado por X o “menor subespaço de V que contém X”
2. Considere os vetores
v1 = (4, 2,−3) , v2 = (2, 1,−2) , v3 = (−2,−1, 0)
em R3.
(a) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1, v2, v3?
i. (1, 1, 1)
ii. (4, 2,−6)
iii. (−2,−1, 1)
iv. (−1, 2, 3).
(b) Mostre que {v1, v2, v3} é LD e escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
3. Sejam X,Y subconjuntos do espaço vetorial V . Mostre que a soma do subespaço gerado por X e o
subespaço gerado por Y é o subespaço gerado por X ∪ Y .
4. Seja V um espaço vetorial e v1 , v2 , . . . , vn vetores em V . Mostre que os seguintes subespaços de V são
iguais:
W1 = subespaço gerado por v1 , v2 , . . . , vn.
W2 = subespaço gerado por v1 , v2 − v1 , . . . , vn − v1.
5. Para cada um dos conjuntos de vetores em R4, decida se é LI ou LD. No segundo caso obtenha um
subconjunto LI que gera o mesmo subespaço.
(a) {(1, 1, 2, 1) , (1, 0, 0, 2) , (4, 6, 8, 6) , (0, 3, 2, 1)}.
(b) {(4, 2,−1, 3) , (6, 5,−5, 1) , (2,−1, 3, 5)}.
6. Seja X = {v1, v2, v3} um conjunto de vetores LI. Decida se Y = {w1, w2, w3} é LI ou LD nos casos
seguintes:
(a) w1 = v1 + v2, w2 = v1 + v3, w3 = v2 + v3.
(b) w1 = v1, w2 = v1 + v3, w3 = v1 + v2 + v3.
7. Sejam
V = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0},
U = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0 , x2 − x3 = 0 , x3 + x4 = 0}.
subconjuntos de R4. Mostre que U ⊆ V e que U é subespaço. Determine um subespaço W de V tal que
V = U ⊕W .
8. Sejam X e Y subconjuntos LI de um espaço vetorial.
(a) Se X,Y são disjuntos, mostre que X ∪ Y é LI se, e somente se, [X] ∩ [Y ] = {0}.
(b) Mostre que X ∪ Y é LI se, e somente se, [X] ∩ [Y ] = [X ∩ Y ].
9. Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial.
(a) Mostre que se X ⊆ Y e X é LD, então Y é LD.
(b) Mostre que se X ⊆ Y e Y é LI então X é LI.
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