Sejam V = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0}, U = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0 , x2 − x3 = 0 , x3 + x4 = 0}. subconjuntos de R...

Para mostrar que U ⊆ V, precisamos verificar se todo elemento de U também pertence a V. Como a condição x1 − x2 + x3 − x4 = 0 é comum a ambos os conjuntos, precisamos apenas verificar se as outras condições de U também são satisfeitas em V. Temos: - x2 − x3 = 0 ⇒ x2 = x3 - x3 + x4 = 0 ⇒ x4 = −x3 Substituindo essas expressões em x1 − x2 + x3 − x4 = 0, obtemos: x1 − x3 + x3 + x3 = 0 ⇒ x1 = −3x3 Portanto, todo elemento de U também pertence a V, e U ⊆ V. Para mostrar que U é subespaço, precisamos verificar se ele é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar. Sejam u = (u1, u2, u3, u4) e v = (v1, v2, v3, v4) dois elementos de U e k um escalar qualquer. Temos: - u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4) - (k u) = (k u1, k u2, k u3, k u4) Para mostrar que u + v pertence a U, precisamos verificar se as condições de U são satisfeitas. Temos: - (u1 + v1) − (u2 + v2) + (u3 + v3) − (u4 + v4) = (u1 − u2 + u3 − u4) + (v1 − v2 + v3 − v4) = 0 Como u e v pertencem a U, temos: - u2 = u3 e v2 = v3 - u3 = −u4 e v3 = −v4 Substituindo essas expressões em u1 − u2 + u3 − u4 e v1 − v2 + v3 − v4, obtemos: - (u1 − u2 + u3 − u4) + (v1 − v2 + v3 − v4) = 0 Portanto, u + v também pertence a U, e U é fechado em relação à adição. Para mostrar que k u pertence a U, precisamos verificar se as condições de U são satisfeitas. Temos: - k u1 − k u2 + k u3 − k u4 = k (u1 − u2 + u3 − u4) = 0 Como u pertence a U, temos: - u2 = u3 - u3 = −u4 Substituindo essas expressões em u1 − u2 + u3 − u4, obtemos: - u1 − u2 + u3 − u4 = 0 Portanto, k u também pertence a U, e U é fechado em relação à multiplicação por escalar. Para encontrar um subespaço W de V tal que V = U ⊕ W, podemos escolher W como o conjunto de todos os elementos de V que são ortogonais a U. Em outras palavras, W é o conjunto de todas as soluções da equação x1 − x2 + x3 − x4 = 0 que não satisfazem as outras condições de U. Podemos encontrar uma base para W por inspeção: - x2 − x3 = 0 ⇒ x2 = x3 - x3 + x4 = 0 ⇒ x4 = −x3 - x1 − x2 + x3 − x4 = 0 ⇒ x1 − x3 + x3 − (−x3) = 0 ⇒ x1 = x3 Portanto, uma base para W é {(1, 0, 0, −1), (0, 1, 1, 0)}. Como U e W têm dimensões 2 e 2, respectivamente, e a soma das dimensões é igual à dimensão de V, temos V = U ⊕ W.