99. Diga quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R4 : (a) {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0 e x3 = x4} ; (b) {(x1, x2, x3, x4) : x1 +x2 +x...

Vamos analisar cada subconjunto: (a) {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0 e x3 = x4} é um subespaço de R4, pois é fechado para soma e multiplicação por escalar. Sejam u = (u1, u2, u3, u4) e v = (v1, v2, v3, v4) elementos de (a), então: - u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4) - Como x1 + x2 = 0 para u e v, temos que (u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) = 0, logo u + v pertence a (a). - Para qualquer escalar k, k(u1, u2, u3, u4) = (ku1, ku2, ku3, ku4). Como x1 + x2 = 0 para u, temos que k(u1 + u2) = ku1 + ku2 = 0, logo k(u1, u2, u3, u4) pertence a (a). (b) {(x1, x2, x3, x4) : x1 +x2 +x3 = 0 e x4 é um inteiro não nulo} não é um subespaço de R4, pois não é fechado para soma. Por exemplo, (1, -1, 0, 1) e (-1, 1, 0, 2) pertencem a (b), mas sua soma (0, 0, 0, 3) não pertence a (b). (c) {(x1, x2, x3, x4) : x2 = 0} não é um subespaço de R4, pois não contém o vetor nulo (0, 0, 0, 0). (d) {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 + x4 = 1} não é um subespaço de R4, pois não contém o vetor nulo (0, 0, 0, 0). (e) {(x1, x2, x3, x4) : x1x2 = 0 e x3 = x4 = 0} é um subespaço de R4, pois é fechado para soma e multiplicação por escalar. Sejam u = (u1, u2, u3, u4) e v = (v1, v2, v3, v4) elementos de (e), então: - u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4) - Como x1u2 = x1v2 = 0, temos que (u1 + v1)(u2 + v2) = u1u2 + u1v2 + v1u2 + v1v2 = 0, logo u + v pertence a (e). - Para qualquer escalar k, k(u1, u2, u3, u4) = (ku1, ku2, ku3, ku4). Como x1u2 = 0 para u, temos que k(u1u2, 0, 0, 0) pertence a (e). (f) {(x1, x2, x3, x4) : x21 = x23} não é um subespaço de R4, pois não é fechado para soma. Por exemplo, (1, 1, 1, 1) e (-1, -1, 1, -1) pertencem a (f), mas sua soma (0, 0, 2, 0) não pertence a (f). Portanto, os subconjuntos que são subespaços de R4 são (a) e (e).