AL1_2020s2_Ex3 (1)

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Álgebra Linear 1, Exerćıcios 3
1. Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de Mn,n(R) em seguida:
(a) Matrizes simétricas (isto é, matrizes A com At = A).
(b) Matrizes antissimétricas (isto é matrizes A com At = −A).
(c) Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes A = (aij) com
∑n
i=1 aii = 0).
(d) Matrizes que tem a primeira linha igual à última coluna.
(e) Matrizes em que a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da última
coluna.
2. Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita. Seja V = W1 + W2. Mostre que
V = W1 ⊕W2 se, e somente se, dimV = dimW1 + dimW2.
3. Seja B = {p0 , p1 , . . . , pk} um conjunto de polinômios tais que o grau de pi é igual a i, i = 0, . . . , k.
Mostre que B é uma base do espaço dos polinômios de grau menor ou igual a k.
4. (a) Considere o seguinte subconjunto de R4:
U = {(w, x, y, z) : w = y + z e x− z = 0} .
Encontre uma base de U . Qual é a dimensão de U?
(b) Quais dos seguintes conjuntos geram complementos de U em R4? Justifique as suas respostas!
F = {(1, 0, 0, 0)},
G = {(1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 1) , (1, 0, 0, 2)},
H = {(1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0)}.
5. Considere o conjunto X = {x, y, z} e o espaço vetorial
F(X,R) = {f : X → R uma função}.
(a) Encontre uma base de F(X,R).
(b) O subconjunto L de F(X,R) cujos elementos são as funções f : X → R tais que |f(y)| 6 3 é um
subespaço de F(X,R)?
(c) O subconjunto M de F(X,R) cujos elementos são as funções f : X → R tais que f(y) = 2f(z) é um
subespaço de F(X,R)?
6. (a) Mostre que o subconjunto de M3,3(R)
Z = {A ∈M3,3(R) |AB = BA ∀B ∈M3,3(R)}
é um subespaço de M3,3(R).
(b) Mostre que
Z =

λ 0 00 λ 0
0 0 λ
∣∣∣∣∣∣ λ ∈ R
 .
(c) Calcule a dimensão de Z é dê uma base de Z.
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