Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V . Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de...

Question

Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V . Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto. [[Dica: para mostrar que dois subconjuntos A,B de V são iguais, o truque é mostrar que A ⊆ B e que B ⊆ A]]. Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por X o “menor subespaço de V que contém X”

Ed · Answer

Para mostrar que o subespaço de V gerado por X é igual à intersecção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto, precisamos mostrar que:

1. O subespaço gerado por X está contido em todos os subespaços de V que contém X como subconjunto.
2. A intersecção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto está contida no subespaço gerado por X.

Para provar a primeira afirmação, observe que o subespaço gerado por X é o menor subespaço de V que contém X. Portanto, qualquer subespaço de V que contém X também contém o subespaço gerado por X.

Para provar a segunda afirmação, observe que a intersecção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto é um subespaço de V que contém X. Além disso, esse subespaço é contido em qualquer outro subespaço de V que contém X como subconjunto. Portanto, ele é igual ao subespaço gerado por X.

Assim, concluímos que o subespaço de V gerado por X é igual à intersecção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto.

Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V . Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de...

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Matemática • EE Manoel Da Costa RezendeEE Manoel Da Costa Rezende

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