Seja V um espaço vetorial e v1 , v2 , . . . , vn vetores em V . Mostre que os seguintes subespaços de V são iguais: W1 = subespaço gerado por v...

Para mostrar que W1 e W2 são iguais, precisamos mostrar que cada vetor em W1 está em W2 e vice-versa. Primeiro, vamos mostrar que W1 está contido em W2. Seja w um vetor em W1, então w é uma combinação linear de v1, v2, ..., vn. Podemos escrever w como: w = a1v1 + a2v2 + ... + anvn Agora, vamos mostrar que w também está em W2. Para isso, precisamos mostrar que w é uma combinação linear de v1, v2 - v1, ..., vn - v1. Podemos fazer isso usando a seguinte estratégia: w = a1v1 + a2v2 + ... + anvn = a1v1 + a2(v2 - v1) + ... + an(vn - v1) + (a2 + ... + an)v1 = (a1 + a2 + ... + an)v1 + a2(v2 - v1) + ... + an(vn - v1) Observe que a soma dos coeficientes a2 + ... + an é igual a 1 - a1, pois a1 + a2 + ... + an = 1 (já que w é uma combinação linear de v1, v2, ..., vn). Portanto, podemos reescrever w como: w = (1 - a1)v1 + a2(v2 - v1) + ... + an(vn - v1) Isso mostra que w é uma combinação linear de v1, v2 - v1, ..., vn - v1, ou seja, w está em W2. Agora, vamos mostrar que W2 está contido em W1. Seja w um vetor em W2, então w é uma combinação linear de v1, v2 - v1, ..., vn - v1. Podemos escrever w como: w = a1v1 + a2(v2 - v1) + ... + an(vn - v1) Observe que podemos reescrever cada vetor vi - v1 como uma soma de vetores da forma vj - v1. Por exemplo: v2 - v1 = (v2 - v1) + 0(v3 - v1) + ... + 0(vn - v1) Isso mostra que v2 - v1 está em W1, pois é uma combinação linear de v1, v2, ..., vn. Portanto, podemos substituir v2 - v1 por essa combinação linear em w: w = a1v1 + a2(v2 - v1) + ... + an(vn - v1) = a1v1 + a2[(v2 - v1) + 0(v3 - v1) + ... + 0(vn - v1)] + ... + an[(vn - v1) + 0(v2 - v1) + ... + 0(vn-1 - v1)] = (a1 + a2)v1 + a2v2 + ... + anvn Isso mostra que w é uma combinação linear de v1, v2, ..., vn, ou seja, w está em W1. Portanto, mostramos que W1 e W2 são iguais.