Determine a integral de linha , onde a curva C é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), ( ¿ 1,2), (...

Para calcular a integral de linha ∫C f(x,y) ds, onde C é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), (-1,2), (-1,-2) e (1,-2), podemos dividir a curva em quatro segmentos e calcular a integral em cada um deles. Assim, temos: ∫C f(x,y) ds = ∫(1,-2)^(1,2) f(x,y) ds + ∫(1,2)^(-1,2) f(x,y) ds + ∫(-1,2)^(-1,-2) f(x,y) ds + ∫(-1,-2)^(1,-2) f(x,y) ds Como C é um retângulo, cada um desses segmentos é uma linha reta, e podemos calcular a integral de linha usando a fórmula: ∫(a,b)^(c,d) f(x,y) ds = ∫a^c f(x,y) dx + ∫b^d f(x,y) dy Assim, temos: ∫C f(x,y) ds = ∫(1,-2)^(1,2) f(x,y) ds + ∫(1,2)^(-1,2) f(x,y) ds + ∫(-1,2)^(-1,-2) f(x,y) ds + ∫(-1,-2)^(1,-2) f(x,y) ds = ∫-2^2 f(1,y) dy + ∫1^-1 f(x,2) dx + ∫2^-2 f(-1,y) dy + ∫-1^1 f(x,-2) dx = ∫-2^2 f(1,y) dy + ∫1^-1 f(x,2) dx + ∫-2^2 f(-1,y) dy + ∫1^-1 f(x,-2) dx Como C é um retângulo centrado na origem, podemos simplificar a expressão acima, já que f(x,y) é uma função par em relação a x e y. Assim, temos: ∫C f(x,y) ds = 2∫0^2 f(1,y) dy + 2∫0^1 f(x,2) dx Agora, basta calcular as integrais acima. Como a função f(x,y) não foi especificada na pergunta, não é possível calcular o valor exato da integral de linha.