Determine a integral de linha , onde a curva C é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), ( -1,2),  (-...

A integral de linha da curva C, que é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), (-1,2), (-1,-2) e (1,-2), é dada por: ∫C 2 dx + ∫C 2 dy Podemos dividir a curva C em quatro segmentos: AB, BC, CD e DA. Como a curva é percorrida no sentido anti-horário, temos: ∫C 2 dx + ∫C 2 dy = ∫AB 2 dy + ∫BC 2 dx + ∫CD 2 dy + ∫DA 2 dx Para o segmento AB, temos y variando de 2 a -2 e x constante em 1. Portanto: ∫AB 2 dy = 2(2-(-2)) = 8 Para o segmento BC, temos x variando de 1 a -1 e y constante em 2. Portanto: ∫BC 2 dx = 2(1-(-1)) = 4 Para o segmento CD, temos y variando de -2 a 2 e x constante em -1. Portanto: ∫CD 2 dy = 2(2-(-2)) = 8 Para o segmento DA, temos x variando de -1 a 1 e y constante em -2. Portanto: ∫DA 2 dx = 2(1-(-1)) = 4 Substituindo na equação original, temos: ∫C 2 dx + ∫C 2 dy = ∫AB 2 dy + ∫BC 2 dx + ∫CD 2 dy + ∫DA 2 dx = 8 + 4 + 8 + 4 = 24 Portanto, a alternativa correta é: ∫[-1,1] 2 dx + ∫[-2,2] 2 dy