O grupo simétrico de ordem n, denotado por left parenthesis S subscript n comma ring operator right parenthesis, é constituído pelo conjunto S subscript n equals open curly brackets space f colon open curly brackets 1 comma midline horizontal ellipsis comma n close curly brackets rightwards arrow open curly brackets 1 comma midline horizontal ellipsis comma n close curly brackets space divided by space f text é uma permutação end text close curly brackets e pela operação ring operator de composição de permutações. Recordemos que uma permutação de um conjunto é uma aplicação bijetora do conjunto nele mesmo. Como a composição de aplicações é associativa, fica bem definido para k greater than 0 e f element of S subscript n, f to the power of k stack equals stack f ring operator f ring operator horizontal ellipsis ring operator f with underbrace below with k space text vezes end text below space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left parenthesis asterisk times right parenthesis Para k equals 0, definimos f to the power of 0 equals i d colon space open curly brackets 1 comma midline horizontal ellipsis comma n close curly brackets rightwards arrow open curly brackets 1 comma midline horizontal ellipsis comma n close curly brackets comma space f to the power of 0 left parenthesis x right parenthesis equals x space space space space space space space space space space space space space left parenthesis asterisk times asterisk times right parenthesis Se k less than 0 então negative k greater than 0 e definimos f to the power of k equals open parentheses f to the power of negative k end exponent close parentheses to the power of negative 1 end exponent space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left parenthesis asterisk times asterisk times asterisk times right parenthesis Considerando o grupo left parenthesis S subscript n comma ring operator right parenthesis e as definições dadas, avalie as afirmativas a seguir: I. Se k less than 0 então f to the power of k stack equals stack f to the power of negative 1 end exponent ring operator f to the power of negative 1 end exponent ring operator horizontal ellipsis ring operator f to the power of negative 1 end exponent with underbrace below with negative k space text vezes end text below. II. f to the power of p ring operator f to the power of q equals f to the power of p plus q end exponent, for all p comma q element of straight integer numbers comma space for all f element of S subscript n. III. open parentheses f to the power of p close parentheses to the power of q equals f to the power of p plus q end exponentAgora, assinale a alternativa CORRETA. Alternativas: a) Apenas a afirmativa I está correta. b) Apenas a afirmativa II está correta. c) Apenas a afirmativa III está correta. Alternativa assinalada d) Apenas as afirmativas I e II estão corretas. e) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.