(a) mostre que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que c; (b) mostre que a velocidade de grupo da onda associada a um elétr...

(a) A velocidade de fase da onda associada a um elétron é dada por v_f = ω/k, onde ω é a frequência angular e k é o número de onda. Para um elétron, a relação de dispersão é dada por E² = (pc)² + (mc²)², onde E é a energia, p é o momento, m é a massa e c é a velocidade da luz. Podemos reescrever essa relação como E²/c² = (p/mc)² + 1. Sabemos que a relação de De Broglie é dada por λ = h/p, onde λ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento. Substituindo essa relação na relação de dispersão, temos E²/c² = (hc/λmc)² + 1. Podemos reescrever essa equação como (λmc/h)² = (E/c)² - 1. Como E/c é maior que 1 para um elétron, então (E/c)² - 1 é positivo e, portanto, (λmc/h)² é positivo. Isso significa que λmc/h é real e, portanto, a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que c. (b) A velocidade de grupo da onda associada a um elétron é dada por v_g = dω/dk, onde ω é a frequência angular e k é o número de onda. Podemos calcular a velocidade de grupo a partir da relação de dispersão E² = (pc)² + (mc²)². Derivando essa relação em relação a p, temos 2E dp/dp = 2pc, ou seja, dp/dE = c²/p. Derivando novamente em relação a p, temos d²p/dE² = -c²/p². Usando a relação de De Broglie λ = h/p, podemos escrever d²p/dλ² = -h²c²/λ². Derivando a relação de dispersão em relação a λ, temos 2E dE/dλ = -2h²c²/λ³. Substituindo dp/dλ e dE/dλ na equação da velocidade de grupo, temos v_g = dω/dk = (dE/dk)/(dω/dk) = (c²/p)/(dE/dλ/dk/dλ) = (c²/p)/(d²p/dλ²) = λ²c²/p². Usando a relação de De Broglie, podemos escrever v_g = λ²c²/h²p. Como p = mv, podemos escrever v_g = λ²c²/h²mV. Substituindo λ = h/p, temos v_g = (h/p)²c²/h²mV = c²/V. Como a velocidade do elétron é igual a V, então a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.