Mostre que, se y1 e y2 são soluções da Equação 5-11, a função y3 = C1y1 + C2y2 também é uma solução, quaisquer que sejam os valores das constantes ...

A equação 5-11 é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, que pode ser escrita na forma: y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 Se y1 e y2 são soluções dessa equação, então temos: y1'' + p(t)y1' + q(t)y1 = 0 y2'' + p(t)y2' + q(t)y2 = 0 Para mostrar que y3 = C1y1 + C2y2 também é uma solução, basta substituí-la na equação diferencial: y3'' + p(t)y3' + q(t)y3 = 0 Substituindo y3 por C1y1 + C2y2, temos: (C1y1 + C2y2)'' + p(t)(C1y1 + C2y2)' + q(t)(C1y1 + C2y2) = 0 Expandindo as derivadas e simplificando, temos: C1y1'' + C2y2'' + (C1p(t) + C2p(t))y1' + (C1p(t) + C2p(t))y2' + C1q(t)y1 + C2q(t)y2 = 0 Como y1 e y2 são soluções da equação diferencial, temos que: y1'' + p(t)y1' + q(t)y1 = 0 y2'' + p(t)y2' + q(t)y2 = 0 Substituindo essas expressões na equação anterior, temos: C1(0) + C2(0) + C1q(t)y1 + C2q(t)y2 = 0 Simplificando, temos: (C1y1 + C2y2)'' + p(t)(C1y1 + C2y2)' + q(t)(C1y1 + C2y2) = 0 Portanto, y3 = C1y1 + C2y2 é uma solução da equação diferencial 5-11, para quaisquer valores de C1 e C2.